O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to2}\sqrt{x^{2}+1}.
O conteúdo envolvido é o Teorema do Limite da Função Composta: se g(x)\to p quando x\to a e f(u)\to L quando u\to p, então \lim_{x\to a}f(g(x))=L.
Aqui identificamos
g(x)=x^{2}+1, \quad f(u)=\sqrt{u}.

Passo 2

Primeiro, calculemos
\lim_{x\to2}g(x) =\lim_{x\to2}(x^{2}+1) =2^{2}+1 =5.
Como f(u)=\sqrt{u} é contínua em u=5, temos
\lim_{u\to5}f(u) =\sqrt{5}.
Pelo Teorema do Limite da Função Composta,
\lim_{x\to2}\sqrt{x^{2}+1} =\lim_{x\to2}f(g(x)) =\sqrt{5}.

Resposta

\sqrt{5}

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