O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow \infty} 2^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede \lim_{x\to\infty}2^{\frac{1}{x}} e recomenda usar o Teorema do Limite da Função Composta. Vamos reconhecer uma função interna g e uma externa f, calcular cada limite separadamente e depois compô-los.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=\frac{1}{x}.
Como x\to\infty, sabemos que
\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

Passo 3

Definimos a função externa
f(u)=2^u.
Como u\to 0, pela continuidade da exponenciação, vale
\lim_{u\to 0}f(u)=\lim_{u\to 0}2^u=2^0=1.

Passo 4

Pelo Teorema do Limite da Função Composta, tendo \lim_{x\to\infty}g(x)=0 e \lim_{u\to 0}f(u)=1, concluímos
\lim_{x\to\infty}2^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}f\bigl(g(x)\bigr) =1.

Resposta

1

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