O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (3 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} usando o teorema do limite de função composta. Para isso, vamos recorrer ao limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de forma a evidenciar \frac{\sin u}{u}. Note que
\frac{\sin(3x)}{x} = \frac{\sin(3x)}{3x}\,\cdot 3.
Aqui definimos a substituição u=3x. Quando x\to0, segue que u\to0.

Passo 3

Pelo teorema do limite de função composta, podemos passar o limite de x\to0 para u\to0 na parte \tfrac{\sin(3x)}{3x}. Assim,
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x} = \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u} =1.

Passo 4

Voltando à expressão original, multiplicamos pelo fator que ficou de fora:
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{x} =1 \cdot 3 =3.

Resposta

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