O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow \infty} a^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}, a \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to \infty} a^{\frac{x^{2}-4}{x-2}},
usando o Teorema do Limite da Função Composta. O que vamos precisar é reconhecer a função exterior \displaystyle f(u)=a^{u}
e a função interior \displaystyle g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2},
determinar \lim_{x\to\infty}g(x) e então usar \lim_{x\to\infty}f\bigl(g(x)\bigr)=\lim_{u\to p}f(u)
quando p=\lim_{x\to\infty}g(x).

Passo 2

Simplificamos a função interior:
g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2,
válido para x\neq2. Logo
\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}(x+2)=\infty.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema do Limite da Função Composta com f(u)=a^{u} e p=\infty. Ou seja,
\lim_{x\to\infty}a^{\frac{x^{2}-4}{x-2}} =\lim_{u\to\infty}a^{u}.

Passo 4

Basta avaliar \lim_{u\to\infty}a^{u}. Para a>0 os casos são:
  • Se a>1, então a^{u}\to+\infty conforme u\to\infty.
  • Se a=1, então a^{u}=1 para todo u, logo o limite é 1.
  • Se 0<a<1, então a^{u}\to0 conforme u\to\infty.
Para a<0 a expressão a^{u} não está bem definida como função real quando u varia continuamente até \infty, portanto não há limite real nesses casos.

Resposta

Para a>1: \displaystyle +\infty.
Para a=1: \displaystyle 1.
Para 0<a<1: \displaystyle 0.
Para a<0: não existe limite real.

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