O enunciado a segur é mais geral que o que foi visto em aula e ele inclui limites infinitos ou no infinito. Leia com atenção antes de responder os próximos itens.
Teorema (Limite da Função Composta) Sejam f(x) e g(x) duas funções. Suponha que \lim _{u \rightarrow p} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=p, onde p \in \mathbb{R} \cup\{\infty,-\infty\} e a \in \mathbb{R} \cup {\infty,-\infty}. Suponha que g(x) \neq p quando x esta suficientemente próximo de a, mas x \neq a. Então
\lim _{x \rightarrow a} f \circ g(x)=\lim _{u \rightarrow p} f(u)
Calcule os limites a seguir, usando o Limite da Função Composta:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \sin \left(\frac{x^{3}+2 x}{2 x^{3}+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty}\sin\Bigl(\frac{x^{3}+2x}{2x^{3}+x^{2}}\Bigr)
usando o Teorema do Limite da Função Composta. O conteúdo envolvido é o cálculo do limite de uma função racional quando x\to-\infty e, em seguida, a aplicação desse resultado como entrada de \sin(\cdot).

Passo 2

Defina a função interna
u(x)=\frac{x^{3}+2x}{2x^{3}+x^{2}}.
Para x\to-\infty fatoramos x^{3} em numerador e denominador:
u(x) =\frac{x^{3}\bigl(1+\tfrac{2}{x^{2}}\bigr)}{x^{3}\bigl(2+\tfrac{1}{x}\bigr)} =\frac{1+\tfrac{2}{x^{2}}}{2+\tfrac{1}{x}}.
Como x\to-\infty, \tfrac{2}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x}\to0, logo
\lim_{x\to -\infty}u(x)=\frac{1+0}{2+0}=\tfrac12.

Passo 3

Pelo Teorema do Limite da Função Composta, se \lim_{x\to -\infty}u(x)=p e \lim_{u\to p}\sin(u)=\sin(p), então
\lim_{x\to -\infty}\sin\bigl(u(x)\bigr) =\sin\!\bigl(\lim_{x\to -\infty}u(x)\bigr) =\sin\bigl(\tfrac12\bigr).

Resposta

\displaystyle \sin\bigl(\tfrac12\bigr)

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