Seja f(u)\) a função definida em toda a reta reap por \(f(u)= \begin{cases}u+1, & \text { se } u \neq 1, \\\\ 3, & \text { se } u=1 .\end{cases} e g(x) a função definida também na reta toda por g(x)=1. Mostre, fazendo cálculos diretos, que
\lim _{x \rightarrow p} f(g(x)) \neq \lim _{u \rightarrow 1} f(u)
Explique por que o Teorema do Limite da Função composta enunciado no Exercício 10 não pode ser aplicado nesse exemplo.

Passo 1

O enunciado define duas funções em \mathbb{R}\): \[f(u)= \begin{cases} u+1, & \text{se }u\neq1,\\\\ 3, & \text{se }u=1, \end{cases}
e
g(x)=1\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Pede-se para calcular diretamente \lim_{x\to p}f\bigl(g(x)\bigr)\] e \(\lim_{u\to1}f(u),
mostrar que são diferentes e explicar por que o Teorema do Limite da Função Composta não se aplica. O conteúdo necessário é cálculo de limites e condição de continuidade numa composição.

Passo 2

Como g(x)=1 para todo x, temos
f\bigl(g(x)\bigr)=f(1)=3
exatamente, sem depender de x. Logo, para qualquer ponto p,
\lim_{x\to p}f\bigl(g(x)\bigr)=3.

Passo 3

Para \lim_{u\to1}f(u) observamos que, quando u\neq1, f(u)=u+1. Logo o limite lateral u\to1 ignora o valor isolado em u=1 e vale
\lim_{u\to1}f(u) =\lim_{u\to1}(u+1) =1+1 =2.

Passo 4

Comparando os resultados:
\lim_{x\to p}f\bigl(g(x)\bigr)=3 \quad\text{e}\quad \lim_{u\to1}f(u)=2,
logo de fato
\lim_{x\to p}f\bigl(g(x)\bigr)\neq\lim_{u\to1}f(u).

Passo 5

O Teorema do Limite da Função Composta diz que, se \lim_{x\to p}g(x)=L existe e f é contínua em L, então
\lim_{x\to p}f\bigl(g(x)\bigr) =f\bigl(\lim_{x\to p}g(x)\bigr).
Aqui \lim_{x\to p}g(x)=1, mas f não é contínua em u=1 (pois o valor f(1)=3 difere do limite 2). Portanto a hipótese de continuidade de f em 1 falha, e o teorema não pode ser aplicado.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to p}f\bigl(g(x)\bigr)=3\neq2=\lim_{u\to1}f(u).
O teorema não vale porque f não é contínua em u=1.

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