Seja
e
a função definida também na reta toda por
. Mostre, fazendo cálculos diretos, que
Explique por que o Teorema do Limite da Função composta enunciado no Exercício 10 não pode ser aplicado nesse exemplo.
Passo 1
O enunciado define duas funções em
e
Pede-se para calcular diretamente
,
mostrar que são diferentes e explicar por que o Teorema do Limite da Função Composta não se aplica. O conteúdo necessário é cálculo de limites e condição de continuidade numa composição.
mostrar que são diferentes e explicar por que o Teorema do Limite da Função Composta não se aplica. O conteúdo necessário é cálculo de limites e condição de continuidade numa composição.
Passo 2
Como
para todo
, temos
exatamente, sem depender de
. Logo, para qualquer ponto
,
Passo 3
Para
observamos que, quando
,
. Logo o limite lateral
ignora o valor isolado em
e vale
Passo 4
Comparando os resultados:
logo de fato
Passo 5
O Teorema do Limite da Função Composta diz que, se
existe e
é contínua em
, então
Aqui
, mas
não é contínua em
(pois o valor
difere do limite
). Portanto a hipótese de continuidade de
em
falha, e o teorema não pode ser aplicado.
Resposta
O teorema não vale porque