Enuncie a equação de Planck em palavras e dê também a relação matemática. Compare dois exemplos.

Passo 1

O que você pediu: (1) enunciar a equação de Planck em palavras; (2) dar a relação matemática; (3) comparar dois exemplos. Informações relevantes que vou usar e assumir sem perguntar: valores das constantes físicas necessárias (constante de Planck e velocidade da luz) e duas escolhas de exemplo para comparar (vou escolher um fóton de luz visível e um fóton de raio X, porque mostram bem a diferença). Não começo a resolver ainda, só deixei claro o que será entregue.

Passo 2

Conceito básico e papel da equação: vou explicar o que a equação diz, devagar e simples. A ideia física é que a energia não é contínua em pacotes arbitrários para a luz — cada “pacotinho” de luz (fóton) carrega uma energia ligada à frequência da onda eletromagnética. Isso é o que Planck propôs e o que Einstein aplicou aos fótons. Antes de escrever a fórmula, preciso definir duas coisas:
  • \nu é a frequência da onda eletromagnética (em hertz, Hz).
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros, m).
  • h é a constante de Planck; seu valor em SI é \;h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • c é a velocidade da luz no vácuo; seu valor em SI é \;c = 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    Esses símbolos e unidades são importantes para usar a fórmula corretamente na prova.

Passo 3

Enunciado em palavras (claro e direto): a equação de Planck afirma que a energia de um único fóton é diretamente proporcional à sua frequência; fótons de maior frequência carregam mais energia. Não é uma média: é a energia de um fóton.

Passo 4

Relação matemática e explicação das variáveis: a forma mais direta é
E = h\,\nu
onde \;E é a energia do fóton (em joules), \;h é a constante de Planck e \;\nu é a frequência (em hertz). Como muitas vezes é mais fácil medir ou dar o comprimento de onda \lambda em vez da frequência, usamos \nu = c/\lambda e obtemos a forma alternativa muito usada:
E = \frac{h\,c}{\lambda}.
Explicando: trocar \nu por c/\lambda é porque frequência e comprimento de onda são inversamente proporcionais para ondas que se propagam a velocidade c.

Passo 5

Dica prática para provas (truque útil): é comum memorizar o produto h c em unidades convenientes. Em SI,
h c \approx 1{,}986\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Em unidades mais íntimas da física atômica, é prático lembrar
h c \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm},
porque aí se usa diretamente \lambda em nanômetros (nm) e sai a energia em elétron-volts (eV). Vou usar isso para facilitar contas sem precisar de calculadora demais.

Passo 6

Exemplo 1 — fóton visível (escolhi \lambda = 500\\ \mathrm{nm}, um verde): passo a passo para calcular E.
  1. Converter \lambda para metros: \;500\\ \mathrm{nm} = 500\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}0\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  2. Usar E = \dfrac{h c}{\lambda} com h c \approx 1{,}986\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}:
E \approx \frac{1{,}986\times 10^{-25}}{5{,}0\times 10^{-7}}\\ \mathrm{J}.
  1. Fazer a divisão de potências de dez e coeficientes:
\frac{1{,}986}{5{,}0} \approx 0{,}3972,\quad 10^{-25}/10^{-7}=10^{-18},
portanto
E \approx 3{,}972\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  1. Converter para elétron-volts se quiser: 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
E \approx \frac{3{,}972\times 10^{-19}}{1{,}602\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 2{,}48\\ \mathrm{eV}.
Resumo do Exemplo 1: \;E\approx 3{,}97\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 2{,}48\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Exemplo 2 — fóton de raio X (escolhi \lambda = 0{,}1\\ \mathrm{nm} = 0{,}1 nanômetro): passo a passo.
  1. Converter \lambda para metros: \;0{,}1\\ \mathrm{nm} = 0{,}1\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 1{,}0\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  2. Usar E = \dfrac{h c}{\lambda}:
E \approx \frac{1{,}986\times 10^{-25}}{1{,}0\times 10^{-10}}\\ \mathrm{J}.
  1. Dividir coeficientes e potências:
\frac{1{,}986}{1{,}0}=1{,}986,\quad 10^{-25}/10^{-10}=10^{-15},
então
E \approx 1{,}986\times 10^{-15}\\ \mathrm{J}.
  1. Converter para eV:
E \approx \frac{1{,}986\times 10^{-15}}{1{,}602\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 1{,}24\times 10^{4}\\ \mathrm{eV}=12{,}4\\ \mathrm{keV}.
Resumo do Exemplo 2: \;E\approx 1{,}99\times 10^{-15}\\ \mathrm{J}\approx 12{,}4\\ \mathrm{keV}.

Passo 8

Comparação e interpretação física (por que isso importa e o que observar na prova):
  • Relação inversa com \lambda: quando \lambda fica 5000 vezes menor (de 500\\ \mathrm{nm} para 0{,}1\\ \mathrm{nm}), a energia do fóton fica 5000 vezes maior — porque E\propto 1/\lambda.
  • Numericamente: Exemplo 2 tem energia aproximadamente \dfrac{1{,}986\times 10^{-15}}{3{,}972\times 10^{-19}}\approx 5{,}00\times 10^{3} vezes a energia do fóton visível do Exemplo 1.
  • Consequências práticas: fótons da faixa de raios X (keV) conseguem ionizar átomos e penetrar materiais; fótons visíveis (a poucos eV) não ionizam e interagem de outro modo (absorção, emissão eletrônica, visão).
  • Dica rápida de cálculo sem calculadora: memorize h c \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}. Então para \lambda em nm,
E(\mathrm{eV})\approx \frac{1240}{\lambda(\mathrm{nm})}.
Ex.: \lambda=500\\ \mathrm{nm}\Rightarrow E\approx 1240/500\approx 2{,}48\\ \mathrm{eV}. \lambda=0{,}1\\ \mathrm{nm}\Rightarrow E\approx 1240/0{,}1=12400\\ \mathrm{eV}=12{,}4\\ \mathrm{keV}.

Resposta

A equação de Planck em palavras: A energia de um único fóton é proporcional à sua frequência; fótons de maior frequência têm maior energia.
Relação matemática: \displaystyle E = h\,\nu = \frac{h\,c}{\lambda}.
Comparação (dois exemplos): Exemplo 1 — \lambda=500\\ \mathrm{nm} \Rightarrow E\approx 3{,}97\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx 2{,}48\\ \mathrm{eV}. Exemplo 2 — \lambda=0{,}1\\ \mathrm{nm} \Rightarrow E\approx 1{,}99\times 10^{-15}\\ \mathrm{J}\approx 12{,}4\\ \mathrm{keV}. Exemplo 2 tem energia ≈ 5{,}00\times 10^{3} vezes maior que o Exemplo 1.

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