4- Enuncie as equações de Maxwell e a partir das mesmas, demonstre que o campo elétrico se propaga perpendicularmente ao campo magnético, identificando a velocidade com que eles se propagam no vacuo. A seguir, elabore com suas palavras o que ocorre se a luz atravessa a matéria, por exemplo, um bloco de vidro, um óculos! identificando por exemplo o que ocorre com a velocidade da luz. E a mesma? (2.5)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as hipóteses que vou usar (essas hipóteses vêm da própria ideia de “propagação no vácuo” e do uso usual das equações de Maxwell).
- O enunciado pede:
- Enunciar as equações de Maxwell.
- A partir delas, demonstrar que o campo elétrico se propaga perpendicularmente ao campo magnético e identificar a velocidade de propagação no vácuo.
- Explicar, em palavras, o que ocorre quando a luz atravessa a matéria (por exemplo, vidro, óculos), especialmente o que ocorre com a velocidade da luz — se ela é a mesma ou muda.
- Hipóteses que vou assumir explicitamente para a demonstração das ondas eletromagnéticas:
- Trabalho inicialmente no vácuo, região sem cargas livres nem correntes livres. Em notação:
e . - Uso das formas diferenciais das equações de Maxwell no SI.
- Para a parte sobre matéria, considerarei um meio linear, homogêneo e isotrópico (uma boa aproximação para muitos vidros comuns) e apresentarei conceitos qualitativos (índice de refração, dispersão, absorção).
- Trabalho inicialmente no vácuo, região sem cargas livres nem correntes livres. Em notação:
Passo 2
Enuncio as equações de Maxwell em forma diferencial no SI (essas são as quatro equações fundamentais, com densidade de carga
e densidade de corrente
):
Explicando rapidamente cada símbolo (pra ficar bem claro):
-
é o campo elétrico (vetor) dependente da posição e do tempo . -
é o campo magnético (vetor). -
é a densidade de carga elétrica. -
é a densidade de corrente elétrica. -
é a permissividade do vácuo. -
é a permeabilidade do vácuo.
Essas equações dizem, em palavras: cargas criam divergência em; não existem “monopolos magnéticos” (divergência de nula); variação temporal de cria circulação de (Lei de Faraday); correntes e variações de criam circulação de (Lei de Ampère-Maxwell).
Passo 3
Especializo para vácuo sem fontes:
e
. As equações ficam:
Agora vou obter a equação de onda para
. O truque clássico: aplicar o operador
na terceira equação (a de Faraday):
No lado direito, substituo a expressão de
da última equação:
No lado esquerdo uso a identidade vetorial (muito útil!): para qualquer campo vetorial
,
onde
é o Laplaciano aplicado componente a componente. Aplicando essa identidade com
e lembrando que
no vácuo sem cargas, obtemos:
Cancelando o sinal negativo:
Esta é a equação de onda vetorial para
no vácuo. De maneira análoga (fazendo rotações análogas ou simetricamente trocando
por
) obtemos para
:
Passo 4
Interpretação da equação de onda e velocidade de propagação. A equação
é a equação de onda padrão com velocidade
tal que
. Portanto a velocidade de propagação no vácuo é
Identificamos essa velocidade com a velocidade da luz no vácuo, tradicionalmente denotada por
. Assim
Se quiser um valor numérico aproximado:
Explicação curta do porquê: a equação de onda mostra que perturbações em
(e
) se propagam como ondas com essa velocidade.
Passo 5
Mostrar que
e
são perpendiculares à direção de propagação (ondas transversas). Vou usar a solução de onda plana como prova simples e direta — é a forma que aparece em provas e é prática na hora da prova:
- Proponha uma onda plana para
:
onde
é o vetor amplitude (constante complexa),
é o vetor de onda (direção e magnitude
), e
é a frequência angular. Essa forma é uma solução à equação de onda se
e
satisfazem a relação de dispersão correta (vou achar já).
- Substituindo na equação
(no vácuo sem cargas) obtemos:
Como o fator exponencial não é zero, deduzimos
Isto diz que
é ortogonal a
: o campo elétrico é perpendicular à direção de propagação da onda. Isso já mostra parte do que se pede.
- Da equação de Faraday
, substituindo formas de onda parecidas, chega-se a uma relação entre amplitudes (fazendo cálculo direto ou usando com sinais corretos), resultando em:
Como
é perpendicular tanto a
quanto a
, concluímos que
é perpendicular a
e também perpendicular a
. Portanto,
,
e a direção de propagação
formam um conjunto de vetores mutuamente ortogonais — a onda é transversal.
- A relação entre magnitudes também aparece: usando a relação de dispersão que vem da equação de onda,
, podemos reescrever
onde
. Isso dá
em magnitude (para campos máximos), outra propriedade útil na prova.
Resumo imediato: as equações de Maxwell, ao levar à equação de onda e ao impor
, forçam a componente de
paralela à direção de propagação a ser nula — logo
é perpendicular à propagação; análogo para
. Além disso a velocidade de propagação é
.
Passo 6
Breve didática sobre valores e significado físico: por que
é legal?
-
mede a “facilidade” com que um campo elétrico se estabelece no vácuo; mede análogo para o campo magnético. A combinação tem dimensões de tempo por comprimento, e sua recíproca tem dimensões de velocidade. - Historicamente, Maxwell percebeu que essa combinação dava o valor experimental da velocidade da luz — daí a conclusão de que luz é uma onda eletromagnética.
Passo 7
O que acontece quando a luz atravessa a matéria (por ex., vidro, lentes)?
- Em matéria existem cargas ligadas (elétrons ligados aos átomos e íons) que respondem ao campo elétrico da onda. Essa resposta macroscópica é descrita pela permissividade elétrica do meio
(ou pela constante dielétrica relativa ), e, em alguns meios, pela permeabilidade magnética (ou ). Para muitos dielétricos não magnéticos comuns (como vidro), e a alteração principal vem de . - Nas equações de Maxwell macroscópicas, para um meio linear, homogêneo e isotrópico substitui-se
por e por . A equação de onda no meio torna-se então
A velocidade de fase da onda neste meio é
Define-se o índice de refração do meio como
portanto
- Conclusão prática: na maioria dos materiais transparentes (vidro, água),
, logo . Por exemplo, um vidro comum tem , então a velocidade da luz no vidro é aproximadamente . Isso explica por que lentes desviam e atrasam a luz em relação ao vácuo. - Física por trás do “abrandamento”: não é que os fótons “viajem mais devagar” individualmente no sentido fundamental; é que a interação com os átomos (polarização do meio) faz com que o campo médio se propague com velocidade de fase menor. Energia e informação se movem a uma velocidade relacionada (velocidade de grupo), que depende da dependência em frequência do índice
.
Passo 8
Efeitos adicionais que é importante saber (para a prova e para a intuição):
- Dispersão:
depende de (frequência). Isso faz com que diferentes cores (frequências) viajem a velocidades de fase diferentes no material — por isso um prisma separa as cores. - Absorção: se o meio é absorvente,
é complexo, . A parte imaginária descreve atenuação (perda de intensidade) da onda no meio. - Anisotropia e materiais especiais: em materiais anisotrópicos (por exemplo cristais birefringentes), a direção do campo pode ter componentes que não sejam estritamente transversais e a velocidade depende da polarização. Em dielétricos comuns (vidro isotrópico), as ondas permanecem essencialmente transversas.
- Velocidade de fase vs velocidade de grupo: a velocidade calculada
é normalmente a velocidade de fase; a velocidade de grupo (velocidade à qual um pacote de ondas — pulsos e informação — se desloca) é dada por e é a que interessa para sinais. Em meios normais, para transmissão de informação (a causalidade é preservada).
Passo 9
Recapitulando de forma direta e prática (o que costuma cair na prova e o que você deve lembrar):
- As equações de Maxwell (diferenciais) são:
- No vácuo sem fontes (
) as equações levam à equação de onda para e :
- Solução em forma de onda plana dá
e ; portanto , e — ondas transversas. - Velocidade da luz no vácuo:
- Na matéria, a velocidade passa a ser
com
. Em materiais comuns (vidro)
, logo
.
- Observação qualitativa final: a luz no material interage com a matéria, o que modifica sua velocidade de fase, causa dispersão e (possivelmente) absorção; a constante fundamental
continua a ser a velocidade-limite no vácuo e a referência universal.
Resposta
\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\nospace
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\nospace
A partir das equações em vácuo (
) obtém-se as equações de onda
e
; soluções em onda plana implicam
e
, logo
,
e
(ondas transversas). A velocidade no vácuo é
.
Quando a luz atravessa matéria, as propriedades eletromagnéticas efetivas mudam (
e possivelmente
diferentes do vácuo), definindo o índice de refração
e uma velocidade de fase
(por exemplo vidro com
dá
). Além disso ocorrem dispersão (dependência de
com a frequência), possível absorção (índice complexo) e efeitos de anisotropia em meios especiais; assim, em geral, a velocidade da luz na matéria não é igual a
.