4- Enuncie as equações de Maxwell e a partir das mesmas, demonstre que o campo elétrico se propaga perpendicularmente ao campo magnético, identificando a velocidade com que eles se propagam no vacuo. A seguir, elabore com suas palavras o que ocorre se a luz atravessa a matéria, por exemplo, um bloco de vidro, um óculos! identificando por exemplo o que ocorre com a velocidade da luz. E a mesma? (2.5)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as hipóteses que vou usar (essas hipóteses vêm da própria ideia de “propagação no vácuo” e do uso usual das equações de Maxwell).
  • O enunciado pede:
    1. Enunciar as equações de Maxwell.
    2. A partir delas, demonstrar que o campo elétrico se propaga perpendicularmente ao campo magnético e identificar a velocidade de propagação no vácuo.
    3. Explicar, em palavras, o que ocorre quando a luz atravessa a matéria (por exemplo, vidro, óculos), especialmente o que ocorre com a velocidade da luz — se ela é a mesma ou muda.
  • Hipóteses que vou assumir explicitamente para a demonstração das ondas eletromagnéticas:
    • Trabalho inicialmente no vácuo, região sem cargas livres nem correntes livres. Em notação: \rho=0 e \mathbf{J}=\mathbf{0}.
    • Uso das formas diferenciais das equações de Maxwell no SI.
    • Para a parte sobre matéria, considerarei um meio linear, homogêneo e isotrópico (uma boa aproximação para muitos vidros comuns) e apresentarei conceitos qualitativos (índice de refração, dispersão, absorção).

Passo 2

Enuncio as equações de Maxwell em forma diferencial no SI (essas são as quatro equações fundamentais, com densidade de carga \rho e densidade de corrente \mathbf{J}):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
Explicando rapidamente cada símbolo (pra ficar bem claro):
  • \mathbf{E}(\mathbf{r},t) é o campo elétrico (vetor) dependente da posição \mathbf{r} e do tempo t.
  • \mathbf{B}(\mathbf{r},t) é o campo magnético (vetor).
  • \rho(\mathbf{r},t) é a densidade de carga elétrica.
  • \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a densidade de corrente elétrica.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.
    Essas equações dizem, em palavras: cargas criam divergência em \mathbf{E}; não existem “monopolos magnéticos” (divergência de \mathbf{B} nula); variação temporal de \mathbf{B} cria circulação de \mathbf{E} (Lei de Faraday); correntes e variações de \mathbf{E} criam circulação de \mathbf{B} (Lei de Ampère-Maxwell).

Passo 3

Especializo para vácuo sem fontes: \rho=0 e \mathbf{J}=\mathbf{0}. As equações ficam:
\nabla\cdot\mathbf{E}=0
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
Agora vou obter a equação de onda para \mathbf{E}. O truque clássico: aplicar o operador \nabla\times na terceira equação (a de Faraday):
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\big(\nabla\times\mathbf{B}\big).
No lado direito, substituo a expressão de \nabla\times\mathbf{B} da última equação:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.
No lado esquerdo uso a identidade vetorial (muito útil!): para qualquer campo vetorial \mathbf{A},
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A},
onde \nabla^2 é o Laplaciano aplicado componente a componente. Aplicando essa identidade com \mathbf{A}=\mathbf{E} e lembrando que \nabla\cdot\mathbf{E}=0 no vácuo sem cargas, obtemos:
-\nabla^2\mathbf{E} = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.
Cancelando o sinal negativo:
\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.
Esta é a equação de onda vetorial para \mathbf{E} no vácuo. De maneira análoga (fazendo rotações análogas ou simetricamente trocando \mathbf{E} por \mathbf{B}) obtemos para \mathbf{B}:
\nabla^2\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}.

Passo 4

Interpretação da equação de onda e velocidade de propagação. A equação
\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
é a equação de onda padrão com velocidade v tal que v^{-2}=\mu_0\varepsilon_0. Portanto a velocidade de propagação no vácuo é
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.
Identificamos essa velocidade com a velocidade da luz no vácuo, tradicionalmente denotada por c. Assim
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.
Se quiser um valor numérico aproximado:
c\approx 3\times 10^{8}\\ \text{m/s}.
Explicação curta do porquê: a equação de onda mostra que perturbações em \mathbf{E} (e \mathbf{B}) se propagam como ondas com essa velocidade.

Passo 5

Mostrar que \mathbf{E} e \mathbf{B} são perpendiculares à direção de propagação (ondas transversas). Vou usar a solução de onda plana como prova simples e direta — é a forma que aparece em provas e é prática na hora da prova:
  • Proponha uma onda plana para \mathbf{E}:
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},
onde \mathbf{E}_0 é o vetor amplitude (constante complexa), \mathbf{k} é o vetor de onda (direção e magnitude k=|\mathbf{k}|), e \omega é a frequência angular. Essa forma é uma solução à equação de onda se \omega e \mathbf{k} satisfazem a relação de dispersão correta (vou achar já).
  • Substituindo na equação \nabla\cdot\mathbf{E}=0 (no vácuo sem cargas) obtemos:
\nabla\cdot\mathbf{E} = i\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} = 0.
Como o fator exponencial não é zero, deduzimos
\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0.
Isto diz que \mathbf{E}_0 é ortogonal a \mathbf{k}: o campo elétrico é perpendicular à direção de propagação da onda. Isso já mostra parte do que se pede.
  • Da equação de Faraday \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t, substituindo formas de onda parecidas, chega-se a uma relação entre amplitudes (fazendo cálculo direto ou usando i\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0 = i\omega \mathbf{B}_0 com sinais corretos), resultando em:
\mathbf{B}_0 = \frac{1}{\omega}\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0.
Como \mathbf{k}\times\mathbf{E}_0 é perpendicular tanto a \mathbf{k} quanto a \mathbf{E}_0, concluímos que \mathbf{B}_0 é perpendicular a \mathbf{k} e também perpendicular a \mathbf{E}_0. Portanto, \mathbf{E}, \mathbf{B} e a direção de propagação \mathbf{k} formam um conjunto de vetores mutuamente ortogonais — a onda é transversal.
  • A relação entre magnitudes também aparece: usando a relação de dispersão que vem da equação de onda, \omega = c k, podemos reescrever
\mathbf{B}_0 = \frac{1}{c}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}_0,
onde \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{k}/k. Isso dá B_0 = E_0/c em magnitude (para campos máximos), outra propriedade útil na prova.
Resumo imediato: as equações de Maxwell, ao levar à equação de onda e ao impor \nabla\cdot\mathbf{E}=0, forçam a componente de \mathbf{E} paralela à direção de propagação a ser nula — logo \mathbf{E} é perpendicular à propagação; análogo para \mathbf{B}. Além disso a velocidade de propagação é c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.

Passo 6

Breve didática sobre valores e significado físico: por que c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} é legal?
  • \varepsilon_0 mede a “facilidade” com que um campo elétrico se estabelece no vácuo; \mu_0 mede análogo para o campo magnético. A combinação \sqrt{\mu_0\varepsilon_0} tem dimensões de tempo por comprimento, e sua recíproca tem dimensões de velocidade.
  • Historicamente, Maxwell percebeu que essa combinação dava o valor experimental da velocidade da luz — daí a conclusão de que luz é uma onda eletromagnética.

Passo 7

O que acontece quando a luz atravessa a matéria (por ex., vidro, lentes)?
  • Em matéria existem cargas ligadas (elétrons ligados aos átomos e íons) que respondem ao campo elétrico da onda. Essa resposta macroscópica é descrita pela permissividade elétrica do meio \varepsilon (ou pela constante dielétrica relativa \varepsilon_r), e, em alguns meios, pela permeabilidade magnética \mu (ou \mu_r). Para muitos dielétricos não magnéticos comuns (como vidro), \mu_r\approx 1 e a alteração principal vem de \varepsilon_r.
  • Nas equações de Maxwell macroscópicas, para um meio linear, homogêneo e isotrópico substitui-se \varepsilon_0 por \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0 e \mu_0 por \mu=\mu_r\mu_0. A equação de onda no meio torna-se então
\nabla^2\mathbf{E} = \mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.
A velocidade de fase da onda neste meio é
v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}}.
Define-se o índice de refração do meio como
n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r},
portanto
v=\frac{c}{n}.
  • Conclusão prática: na maioria dos materiais transparentes (vidro, água), n>1, logo v<c. Por exemplo, um vidro comum tem n\approx 1{,}5, então a velocidade da luz no vidro é aproximadamente v\approx c/1{,}5\approx 2{,}0\times 10^{8}\\ \text{m/s}. Isso explica por que lentes desviam e atrasam a luz em relação ao vácuo.
  • Física por trás do “abrandamento”: não é que os fótons “viajem mais devagar” individualmente no sentido fundamental; é que a interação com os átomos (polarização do meio) faz com que o campo médio se propague com velocidade de fase menor. Energia e informação se movem a uma velocidade relacionada (velocidade de grupo), que depende da dependência em frequência do índice n(\omega).

Passo 8

Efeitos adicionais que é importante saber (para a prova e para a intuição):
  • Dispersão: n depende de \omega (frequência). Isso faz com que diferentes cores (frequências) viajem a velocidades de fase diferentes no material — por isso um prisma separa as cores.
  • Absorção: se o meio é absorvente, n é complexo, n(\omega)=n'(\omega)+i n''(\omega). A parte imaginária n'' descreve atenuação (perda de intensidade) da onda no meio.
  • Anisotropia e materiais especiais: em materiais anisotrópicos (por exemplo cristais birefringentes), a direção do campo pode ter componentes que não sejam estritamente transversais e a velocidade depende da polarização. Em dielétricos comuns (vidro isotrópico), as ondas permanecem essencialmente transversas.
  • Velocidade de fase vs velocidade de grupo: a velocidade calculada v=c/n é normalmente a velocidade de fase; a velocidade de grupo (velocidade à qual um pacote de ondas — pulsos e informação — se desloca) é dada por v_g = d\omega/dk e é a que interessa para sinais. Em meios normais, v_g \le c para transmissão de informação (a causalidade é preservada).

Passo 9

Recapitulando de forma direta e prática (o que costuma cair na prova e o que você deve lembrar):
  • As equações de Maxwell (diferenciais) são:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
  • No vácuo sem fontes ( \rho=0,\\ \mathbf{J}=\mathbf{0}) as equações levam à equação de onda para \mathbf{E} e \mathbf{B}:
\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},\qquad \nabla^2\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}.
  • Solução em forma de onda plana dá \mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0 e \mathbf{B}_0\propto\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0; portanto \mathbf{E}\perp\mathbf{k}, \mathbf{B}\perp\mathbf{k} e \mathbf{E}\perp\mathbf{B} — ondas transversas.
  • Velocidade da luz no vácuo:
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx 3\times 10^{8}\\ \text{m/s}.
  • Na matéria, a velocidade passa a ser
v=\frac{c}{n}=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}},
com n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}. Em materiais comuns (vidro) n\approx 1{,}5, logo v\approx c/1{,}5.
  • Observação qualitativa final: a luz no material interage com a matéria, o que modifica sua velocidade de fase, causa dispersão e (possivelmente) absorção; a constante fundamental c continua a ser a velocidade-limite no vácuo e a referência universal.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
\nospace
A partir das equações em vácuo ( \rho=0,\\ \mathbf{J}=\mathbf{0}) obtém-se as equações de onda
\nabla^2\mathbf{E}=\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} e \nabla^2\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}; soluções em onda plana implicam \mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0 e \mathbf{B}_0=\dfrac{1}{\omega}\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0, logo \mathbf{E}\perp\mathbf{k}, \mathbf{B}\perp\mathbf{k} e \mathbf{E}\perp\mathbf{B} (ondas transversas). A velocidade no vácuo é c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\approx 3\times10^{8}\\ \text{m/s}.
Quando a luz atravessa matéria, as propriedades eletromagnéticas efetivas mudam ( \varepsilon e possivelmente \mu diferentes do vácuo), definindo o índice de refração n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r} e uma velocidade de fase v=c/n (por exemplo vidro com n\approx1{,}5 v\approx c/1{,}5). Além disso ocorrem dispersão (dependência de n com a frequência), possível absorção (índice complexo) e efeitos de anisotropia em meios especiais; assim, em geral, a velocidade da luz na matéria não é igual a c.

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