Dois moles de um gás ideal \operatorname{com} \gamma=\mathrm{C}_{\mathrm{P}} / \mathrm{C}_{\mathrm{V}}=1,40 se-expande isotermicamente a partir da pressão inicial de 5,00 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} e volume de 12,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} para um volume final de 30,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}.
(a) ( 0,5 \mathrm{p} ) Qual é a temperatura do gás?
(b) (0,5 \mathrm{p}) Qual é a pressão final do gás?
(c) (0,75 p) Encontre calor recebido ou perdido Q, trabalho realizado W e variação da energia interna \Delta \mathrm{E}_{\text {int. }}.
(d) ( 0,75 \mathrm{p} ) O processo é reversível ou irreversível? Justifique com cálculos de variação da entropia.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e fornece dados. Vou listar claramente cada pergunta e todos os dados que vamos usar (peguei os números do enunciado):
  • Perguntas:
    (a) Qual é a temperatura do gás?
    (b) Qual é a pressão final do gás?
    (c) Encontre o calor recebido ou perdido Q, o trabalho realizado W e a variação da energia interna \Delta E_{\text{int}}.
    (d) O processo é reversível ou irreversível? Justifique com cálculos de variação da entropia.
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de matéria: n=2,00\\ \text{mol}.
    • razão adiabática: \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=1,40 (informação fornecida, não necessária para isoterma mas anotada).
    • pressão inicial: P_1=5{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • volume inicial: V_1=12{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • volume final: V_2=30{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
    • o processo é isotérmico (temperatura constante).
Observação: não há informação explícita no enunciado dizendo “reversível”, apenas que a expansão é isotérmica; na parte (d) teremos que decidir e justificar por cálculo de entropia.

Passo 2

Encontrar a temperatura do gás a partir da condição isotérmica e da equação dos gases ideais.
  • Lembrando a equação dos gases ideais: PV=nRT,
onde P é pressão, V volume, n número de mols, R constante dos gases e T temperatura absoluta (em \mathrm{K}). Aqui:
  • P_1 e V_1 são conhecidos, então podemos escrever
T=\dfrac{P_1 V_1}{nR}.
  • Explicando cada símbolo:
    • P_1: pressão inicial ( \mathrm{Pa}),
    • V_1: volume inicial ( \mathrm{m^{3}}),
    • n: número de mols,
    • R: constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
    • T: temperatura em kelvin.
  • Agora substituindo os valores (todos em TeX):
P_1V_1=(5{,}00\times10^{5})\cdot(12{,}0\times10^{-3})=5{,}00\times10^{5}\cdot0{,}012=6000\\ \mathrm{J}.
T=\dfrac{6000}{(2{,}00)(8{,}314)}=\dfrac{6000}{16{,}628}=360{,}7\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura do gás é \,T=360{,}7\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular a pressão final P_2 usando a lei dos gases ideais e a temperatura constante.
  • Em processo isotérmico para gás ideal, nRT é constante, então P_1V_1=P_2V_2. Assim:
P_2=\dfrac{P_1V_1}{V_2}=P_1\cdot\dfrac{V_1}{V_2}.
  • Substituindo os valores:
\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{12{,}0\times10^{-3}}{30{,}0\times10^{-3}}=\dfrac{12{,}0}{30{,}0}=0{,}400.
P_2=(5{,}00\times10^{5})\cdot0{,}400=2{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Entender a variação da energia interna \Delta E_{\text{int}} num processo isotérmico e relacioná-la com Q e W.
  • Para um gás ideal mono ou poliatômico, a energia interna depende somente da temperatura. Assim:
\Delta E_{\text{int}}=n C_V \Delta T.
  • Como o processo é isotérmico, temos \Delta T=0. Logo:
\Delta E_{\text{int}}=0.
  • Pela primeira lei da termodinâmica:
\Delta E_{\text{int}}=Q-W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema. Como \Delta E_{\text{int}}=0, obtemos
Q=W.
Portanto o calor recebido será igual ao trabalho realizado.

Passo 5

Calcular o trabalho W realizado na expansão isotérmica (assumindo expansão reversível para obter a expressão de trabalho).
  • Explicação física e matemática: no caso reversível a pressão do gás que realiza o trabalho é sempre P_{\text{int}}=P(V)=\dfrac{nRT}{V}. O trabalho realizado pelo gás ao variar de V_1 para V_2 é a integral
W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV=\int_{V_1}^{V_2}\dfrac{nRT}{V}\,dV.
  • Integrando ( n, R, T constantes na isoterma):
W=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right).
  • Observação: W positivo significa trabalho realizado pelo gás sobre o meio externo (expansão).
  • Agora calculo numérico usando nRT=P_1V_1=6000\\ \mathrm{J} e \ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{30{,}0}{12{,}0}\right)=\ln(2{,}5)=0{,}916291\ldots
W=(6000)\cdot0{,}916291\ldots=5497{,}7\\ \mathrm{J}\approx5{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Determinar o calor Q e relembrar \Delta E_{\text{int}}.
  • Como vimos no Passo 4, para a isoterma \Delta E_{\text{int}}=0 e Q=W. Portanto:
Q=5{,}498\\ \times10^{3}\\ \mathrm{J}\quad(\text{aprox. }5{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J}),
\Delta E_{\text{int}}=0.

Passo 7

Analisar reversibilidade via variação de entropia. Cálculo de \Delta S do gás, do entorno e da soma.
  • Para um processo isotérmico reversível do gás ideal a variação de entropia do gás é:
\Delta S_{\text{gás}}=\int_{i}^{f}\dfrac{dQ_{\text{rev}}}{T}=\dfrac{Q_{\text{rev}}}{T}=nR\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right).á
(Explicando: em processo reversível, o calor trocado dividido pela temperatura é a integral que define a mudança de entropia.)
  • Substituindo:
\Delta S_{\text{gás}}= (2{,}00)(8{,}314)\cdot0{,}916291\ldots =16{,}628\cdot0{,}916291\ldots =15{,}24\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.á
  • Para o entorno (reservatório térmico que fornece/recebe Q), se o processo for realizado de forma reversível o entorno perde calor -Q e sua variação de entropia é:
\Delta S_{\text{entorno}}=\dfrac{-Q}{T}=-\dfrac{Q}{T}.
Usando Q=5497{,}7\\ \mathrm{J} e T=360{,}7\\ \mathrm{K}:
\Delta S_{\text{entorno}}=-\dfrac{5497{,}7}{360{,}7}=-15{,}24\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
  • Soma das entropias (entropia total do universo):
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{gás}}+\Delta S_{\text{entorno}}=15{,}24-15{,}24=0.á
  • Interpretação: \Delta S_{\text{total}}=0 caracteriza um processo reversível (não há produção líquida de entropia). Portanto, com os cálculos acima, a expansão isotérmica tratada aqui é reversível. Se o processo tivesse sido irreversível (por exemplo uma expansão livre), o trabalho e o calor seriam diferentes e a entropia total seria >0 — aqui os cálculos mostram consistência com o caso reversível.

Resposta

(a) T=360{,}7\\ \mathrm{K}
(b) P_2=2{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
(c) Q=5{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J},\\ W=5{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J},\\ \Delta E_{\text{int}}=0
(d) Reversível. \Delta S_{\text{gás}}=15{,}24\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}},\\ \Delta S_{\text{entorno}}=-15{,}24\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}},\\ \Delta S_{\text{total}}=0á

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