Dois moles de um gás ideal
se-expande isotermicamente a partir da pressão inicial de
e volume de
para um volume final de
.
(a) (
) Qual é a temperatura do gás?
(b)
Qual é a pressão final do gás?
(c) (0,75 p) Encontre calor recebido ou perdido Q, trabalho realizado W e variação da energia interna
.
(d) (
) O processo é reversível ou irreversível? Justifique com cálculos de variação da entropia.
(a) (
(b)
(c) (0,75 p) Encontre calor recebido ou perdido Q, trabalho realizado W e variação da energia interna
(d) (
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas e fornece dados. Vou listar claramente cada pergunta e todos os dados que vamos usar (peguei os números do enunciado):
-
Perguntas:
(a) Qual é a temperatura do gás?
(b) Qual é a pressão final do gás?
(c) Encontre o calor recebido ou perdido, o trabalho realizado e a variação da energia interna .
(d) O processo é reversível ou irreversível? Justifique com cálculos de variação da entropia. -
Dados fornecidos:
- quantidade de matéria:
. - razão adiabática:
(informação fornecida, não necessária para isoterma mas anotada). - pressão inicial:
. - volume inicial:
. - volume final:
. - o processo é isotérmico (temperatura constante).
- quantidade de matéria:
Observação: não há informação explícita no enunciado dizendo “reversível”, apenas que a expansão é isotérmica; na parte (d) teremos que decidir e justificar por cálculo de entropia.
Passo 2
Encontrar a temperatura do gás a partir da condição isotérmica e da equação dos gases ideais.
- Lembrando a equação dos gases ideais:
onde
é pressão,
volume,
número de mols,
constante dos gases e
temperatura absoluta (em
). Aqui:
-
e são conhecidos, então podemos escrever
-
Explicando cada símbolo:
-
: pressão inicial ( ), -
: volume inicial ( ), -
: número de mols, -
: constante universal dos gases, , -
: temperatura em kelvin.
-
-
Agora substituindo os valores (todos em TeX):
Portanto a temperatura do gás é
.
Passo 3
Calcular a pressão final
usando a lei dos gases ideais e a temperatura constante.
- Em processo isotérmico para gás ideal,
é constante, então . Assim:
- Substituindo os valores:
Passo 4
Entender a variação da energia interna
num processo isotérmico e relacioná-la com
e
.
- Para um gás ideal mono ou poliatômico, a energia interna depende somente da temperatura. Assim:
- Como o processo é isotérmico, temos
. Logo:
- Pela primeira lei da termodinâmica:
onde
é o calor recebido pelo sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema. Como
, obtemos
Portanto o calor recebido será igual ao trabalho realizado.
Passo 5
Calcular o trabalho
realizado na expansão isotérmica (assumindo expansão reversível para obter a expressão de trabalho).
- Explicação física e matemática: no caso reversível a pressão do gás que realiza o trabalho é sempre
. O trabalho realizado pelo gás ao variar de para é a integral
- Integrando (
, , constantes na isoterma):
-
Observação:
positivo significa trabalho realizado pelo gás sobre o meio externo (expansão). -
Agora calculo numérico usando
e
Passo 6
Determinar o calor
e relembrar
.
- Como vimos no Passo 4, para a isoterma
e . Portanto:
Passo 7
Analisar reversibilidade via variação de entropia. Cálculo de
do gás, do entorno e da soma.
- Para um processo isotérmico reversível do gás ideal a variação de entropia do gás é:
(Explicando: em processo reversível, o calor trocado dividido pela temperatura é a integral que define a mudança de entropia.)
- Substituindo:
- Para o entorno (reservatório térmico que fornece/recebe
), se o processo for realizado de forma reversível o entorno perde calor e sua variação de entropia é:
Usando
e
:
- Soma das entropias (entropia total do universo):
- Interpretação:
caracteriza um processo reversível (não há produção líquida de entropia). Portanto, com os cálculos acima, a expansão isotérmica tratada aqui é reversível. Se o processo tivesse sido irreversível (por exemplo uma expansão livre), o trabalho e o calor seriam diferentes e a entropia total seria — aqui os cálculos mostram consistência com o caso reversível.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Reversível.