Determine a perda de carga contínua de uma tubulação de 500 m de comprimento, 600 mm de diâmetro e rugosidade absoluta \varepsilon=0,10 \mathrm{~mm}, quando escoa uma vazão de 1,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a perda de carga contínua da tubulação:
  • Comprimento: L=500\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro: D=0,6\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade absoluta: \varepsilon=0,10\\ \mathrm{mm}=0,0001\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=1,0\\ \mathrm{m^{3}/s}.
O pedido: determinar a perda de carga contínua ( h_f) ao longo dos 500\\ \mathrm{m} (valor em metros de coluna de fluido).
Observação necessária (assunção): não foi fornecido o fluido nem a temperatura, então vou assumir água a 20^\circ\mathrm{C} com kinemática aproximadamente \nu=1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Se a água tiver outra temperatura, os números mudam um pouco, mas o procedimento é o mesmo.

Passo 2

Primeiro calculemos a velocidade média do escoamento na tubulação. A área da seção transversal é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,6\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0,6)^{2}}{4}=\pi\cdot0,09\approx0,282743\\ \mathrm{m^{2}}.
A velocidade média é
V=\frac{Q}{A}=\frac{1,0}{0,282743}\approx3,535\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: essa é a velocidade média que a água tem dentro do cano — dá para usar direto nas fórmulas de perda de carga.

Passo 3

Calculemos o número de Reynolds para identificar o regime de escoamento e usá-lo no cálculo do fator de atrito:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
Com V\approx3,535\\ \mathrm{m/s}, D=0,6\\ \mathrm{m} e \nu=1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}:
\mathrm{Re}=\frac{3,535\cdot0,6}{1,0\times10^{-6}}\approx2,12\times10^{6}.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx2{,}12\times10^{6}\gg4000, portanto o escoamento é totalmente turbulento. Isso nos diz que o fator de atrito depende tanto da rugosidade relativa \varepsilon/D quanto de \mathrm{Re}.

Passo 4

Escolha da fórmula para o fator de atrito f:
  • A equação de Colebrook é a exata (implícita) para tubos rugosos, mas exige iteração.
  • Para cálculo direto na prova sem iteração, uma fórmula explícita amplamente usada é a de Swamee–Jain:
f=\frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • f: fator adimensional de atrito de Darcy–Weisbach;
  • \varepsilon: rugosidade absoluta (m);
  • D: diâmetro do tubo (m);
  • \mathrm{Re}: número de Reynolds (adimensional).
Uso essa fórmula porque é explícita (não precisa de iteração) e é suficientemente precisa para engenharia e para provas.

Passo 5

Calculemos f com os números que temos. Primeiro a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0,0001}{0,6}=1,6667\times10^{-4}.
Agora os termos dentro do logaritmo da fórmula de Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0,0001}{3{,}7\cdot0,6}\approx4,50\times10^{-5},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(2,12\times10^{6})^{0{,}9}}\approx1,16\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx5,66\times10^{-5}.
Agora o logaritmo e f:
\log_{10}\!\left(5,66\times10^{-5}\right)\approx-4,247,
f=\frac{0,25}{(-4,247)^{2}}\approx\frac{0,25}{18,04}\approx0,0139.
Interpretação: f\approx0,0139 é um valor típico para escoamento turbulento em tubo relativamente liso.

Passo 6

Finalmente calculamos a perda de carga contínua (fórmula de Darcy–Weisbach em altura de coluna de fluido):
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g}.
Calculemos cada parte:
\frac{L}{D}=\frac{500}{0,6}\approx833{,}333,
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(3,535)^{2}}{2\cdot9,81}=\frac{12,50}{19,62}\approx0,6373\\ \mathrm{m}.
Agora:
h_f=0,0139\cdot833{,}333\cdot0,6373\approx7,36\\ \mathrm{m}.
Interpretação final: a perda de carga contínua ao longo dos 500\\ \mathrm{m} é cerca de 7{,}36\\ \mathrm{m} de coluna de água. Se precisar da perda de carga em pressão, multiplica-se por \rho g; para água \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} isso dá \Delta p\approx1000\cdot9,81\cdot7,36\approx72{,}2\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

h_f\approx7,36\\ \mathrm{m}

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