Enuncie e explique o significado e a importância do Teorema do Transporte de Reynolds para a mecânica dos fluidos, O ele diz? Explique cada um dos termos da equação geral. Exemplifique um fenômeno que pode ser estudado com a aplicação deste teorema.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente falar do Teorema do Transporte de Reynolds, que é um resultado clássico de Mecânica dos Fluidos. A ideia é:
  • Enunciar o teorema (ou seja, escrever a fórmula geral).
  • Explicar o que ele significa e por que é importante (o “espírito” da parada).
  • Detalhar cada termo da equação.
  • Dar um exemplo de fenômeno que a gente estuda usando esse teorema.
Pra resolver, vamos precisar lembrar um pouquinho de cálculo (derivada de integral, razão de variação de uma quantidade dentro de um volume fluido) e conceitos de volume de controle versus sistema material.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o enunciado matemático do Teorema do Transporte de Reynolds. Suponha que φ(x,t) seja a densidade volumétrica de alguma propriedade extensiva (por exemplo, massa, momento, energia) no domínio. Se escolhermos um volume de controle fixo ddt integralV phi , dV ;=; underbraceintegralV partial phipartial t, dVvariação local ;+; underbraceintegralpartial V phi, (vcdotn), dAfluxo através da fronteira com superfície , a forma integral geral é:
çãé
Isso diz: a taxa de mudança total de φ dentro de V é a soma da variação “dentro” mais o que entra ou sai pela superfície.

Passo 3

Agora, sem pular etapas, bora entender cada termo:
    • É a derivada total, ou material, da integral de φ sobre o volume. Representa como a “quantidade total de φ” no nosso volume de controle muda com o tempo.
    • É a variação local de φ em cada ponto, já contando se φ está crescendo ou decaindo no próprio ponto, sem considerar movimento.
    • É o fluxo de φ através da fronteira .
      • é o vetor velocidade do fluido.
      • é o vetor normal à superfície, apontando para fora.
      • positivo significa que o fluido (e a propriedade φ) sai do volume; negativo, significa que entra.

Passo 4

Qual é a importância disso?
  • Ele faz a “ponte” entre a visão de sistema (que acompanha a partícula fluida) e de volume de controle (uma região fixa no espaço).
  • É a base para deduzir as equações de conservação de massa, momento e energia em forma integral.
  • Em engenharia, facilita tratar situações onde o volume de controle é algo fixo (tubulação, turbina, tanque).

Passo 5

Um exemplo prático: esvaziamento de um tanque com fluido.
Imagina um tanque cheio de água que drena por um orifício embaixo. Se tomarmos V como o volume interno do tanque, φ = ρ (densidade da água), aplicamos o teorema e obtemos a equação de conservação de massa:
ddt integralV rho,dV = - integralpartial V rho,(vcdotn),dA
Isso leva à famosa fórmula para a vazão de saída e ao cálculo do tempo de esvaziamento do tanque.

Resposta

O Teorema do Transporte de Reynolds afirma que, para qualquer propriedade extensiva φ em um volume de controle fixo, a derivada no tempo da integral de φ é igual à soma da variação local dentro do volume e do fluxo de φ pela superfície. Em fórmula:
ddtintegralV phi,dV = integralV partial phipartial t,dV + integralpartial V phi,(vcdotn),dA
Cada termo significa:
  • : taxa de mudança total de φ no volume;
  • : variação local em cada ponto;
  • : fluxo de φ através da fronteira.
    É super importante porque conecta a descrição Lagrangiana (seguindo o fluido) com a Euleriana (em uma região fixa) e serve de base para as equações de massa, momento e energia em mecânica dos fluidos. Um exemplo de aplicação é o cálculo da variação de massa em um tanque que drena pela base.

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