Enuncie e explique o Teorema do Confronto (ou das Três Sequências).

Passo 1

Você pediu que eu enuncie e explique o Teorema do Confronto (ou das Três Sequências). Ou seja:
  • Preciso escrever o enunciado formal do teorema.
  • Preciso demonstrá‑lo de forma rigorosa (mas didática).
  • Preciso dar intuição, exemplos e dicas para usar o teorema na prova.
    As informações dadas são apenas essa solicitação; não há dados numéricos adicionais nem figura. Vou fazer tudo passo a passo, sem pular etapas, e com linguagem simples.

Passo 2

Enunciado formal do Teorema do Confronto (forma para sequências).
\text{Sejam }(a_n),\,(b_n),\,(c_n)\text{ sequências tal que existe }N_0\in\mathbb{N}\text{ com } a_n \le b_n \le c_n\quad\text{para todo }n\ge N_0.ê
\text{Se } \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L, \text{ então } \lim_{n\to\infty} b_n = L.ã
Aqui: a_n,b_n,c_n são números reais para cada n; L é um número real. A desigualdade precisa valer a partir de algum índice N_0 (pode ser para todo n, ou apenas para n suficientemente grande).

Passo 3

Intuição geométrica e por que o nome “confronto” ou “squeeze” (espremimento).
Imagine duas paredes que se aproximam: a sequência (a_n) é a parede de baixo, (c_n) é a parede de cima, e (b_n) é uma bola presa entre elas. Se as duas paredes vão, aos poucos, encontrar uma mesma posição L quando n fica grande, a bola que está presa entre elas não tem para onde escapar — ela também tem que ir para L. É essa ideia simples que o teorema formaliza.

Passo 4

Definição de limite de sequência (ferramenta necessária para a demonstração).
Uma sequência (s_n) converge para S se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |s_n - S| < \varepsilon.
Vou usar essa definição para provar o teorema.

Passo 5

Prova rigorosa usando a definição \varepsilon- N.
  1. Comece com um \varepsilon>0 arbitrário. Queremos mostrar que existe N tal que, para n\ge N, |b_n - L| < \varepsilon.
  2. Como \lim a_n = L, pela definição existe N_1 tal que, para todo n\ge N_1,
|a_n - L| < \varepsilon,
o que é equivalente a
L-\varepsilon < a_n < L+\varepsilon.
  1. Como \lim c_n = L, existe N_2 tal que, para todo n\ge N_2,
|c_n - L| < \varepsilon,
ou seja
L-\varepsilon < c_n < L+\varepsilon.
  1. Tome N = \max\{N_0, N_1, N_2\}. Para todo n\ge N temos simultaneamente:
  • a_n \le b_n \le c_n (pois n\ge N\ge N_0),
  • L-\varepsilon < a_n (pois n\ge N\ge N_1),
  • c_n < L+\varepsilon (pois n\ge N\ge N_2).
Juntando essas três desigualdades obtemos, para n\ge N,
L-\varepsilon < a_n \le b_n \le c_n < L+\varepsilon.
  1. Da cadeia anterior segue imediatamente que |b_n - L| < \varepsilon para todo n\ge N. Como \varepsilon>0 era arbitrário, isso mostra que \lim_{n\to\infty} b_n = L. Prova concluída.

Passo 6

Exemplo 1 — clássico e simples (muito usado em prova).
Considere b_n = \dfrac{\sin n}{n}. Sabemos que |\sin n| \le 1 para todo n. Então
-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}.
Defina a_n = -\dfrac{1}{n} e c_n = \dfrac{1}{n}. Sabemos que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty} c_n = 0.
Pelo Teorema do Confronto, \lim_{n\to\infty} b_n = 0. Aqui usei uma desigualdade elementar e já resolvi o limite — é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova.

Passo 7

Exemplo 2 — dica de construção de desigualdades.
Suponha que você deseja calcular \lim_{n\to\infty} b_n e b_n é algo complicado. Estratégia prática:
  • Tente achar duas sequências simples a_n e c_n tais que a_n \le b_n \le c_n (pelo menos para n grande).
  • Calcule \lim a_n e \lim c_n. Se ambos existem e são iguais a L, então \lim b_n = L.
Exemplos úteis de desigualdades que aparecem muito:
  • |\sin x| \le |x| (para x real).
  • Para razões, às vezes consegue-se comparar numerador e denominador por desigualdades elementares.
  • Para produtos, se |u_n|\le v_n e v_n\to 0, então u_n\to 0.

Passo 8

Variações importantes e observações de prova:
  • A desigualdade a_n \le b_n \le c_n não precisa valer para todos os n, basta valer para todo n suficientemente grande (a partir de algum N_0). Isso foi considerado no enunciado.
  • É essencial que os limites de a_n e c_n existam e sejam iguais. Se os limites das duas sequências de extremidade forem diferentes ou um deles não existir, não podemos concluir nada.
  • Existe análogo do Teorema do Confronto para limites de funções (quando x\to x_0 ou x\to\infty): se f(x)\le g(x)\le h(x) perto de x_0 e \lim f=\lim h=L, então \lim g=L.

Passo 9

Checklist rápido para usar o teorema numa prova (passo a passo prático):
  1. Identifique b_n cujo limite você precisa achar.
  2. Procure desigualdades simples que contenham b_n entre duas sequências mais fáceis a_n e c_n.
  3. Calcule \lim a_n e \lim c_n.
  4. Se ambos existirem e forem iguais a L, conclua \lim b_n = L pelo Teorema do Confronto.
  5. Escreva claramente a faixa a_n \le b_n \le c_n (ou a partir de algum N_0) e cite a convergência das extremidades.
Força aí — com esse raciocínio você resolve vários limites rapidinho.

Resposta

\text{Sejam }(a_n),\,(b_n),\,(c_n)\text{ sequências tais que existe }N_0\in\mathbb{N}\text{ com } a_n \le b_n \le c_n\quad\text{para todo }n\ge N_0.ê
\text{Se } \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L, \text{ então } \lim_{n\to\infty} b_n = L.ã

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