Classifique as sequências abaixo como monótonas, limitadas, convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
(com
inteiro positivo, isto é,
) e pede que eu classifique a sequência quanto a:
- monotonicidade (crescente/decrescente/nenhuma),
- ser limitada (sim/não; indicar cotas),
- convergência ou divergência (e, se convergente, determinar o limite).
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significam os termos que precisamos verificar — explico devagarinho para colar isso na prova:
- Uma sequência
é estritamente crescente se, para todo , . É não decrescente se . - Uma sequência é limitada superiormente se existe
tal que para todo ; limitada inferiormente se existe tal que para todo . Se tem ambas, dizemos simplesmente “limitada”. - Uma sequência converge para
se, para todo , existe tal que para todo . Se não converge para nenhum número finito, dizemos que diverge.
Vou aplicar essas definições passo a passo à sequência
.
Passo 3
Verificando monotonicidade por comparação entre termos consecutivos. Calculo
e simplifico passo a passo:
Coloco no mesmo denominador:
Expando o numerador:
Logo
Para todo
o denominador
é positivo, então a diferença é positiva:
Portanto
é estritamente crescente (ou seja, monótona crescente).
Passo 4
Um jeitinho para intuir o comportamento: calculemos os primeiros termos (isso ajuda a fixar na prova):
Vê-se que cada termo aumenta e parece aproximar-se de
. Isso concorda com o resultado do passo anterior.
Passo 5
Agora verifico se a sequência é limitada. Faço uma manipulação útil:
Dessa forma fica claro que, para todo
,
Também
(pois
), então
. Assim
Logo a sequência é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
; portanto é limitada. (Observação: como é crescente, a menor cota entre os termos é
, mas a cota geral simples
funciona e é suficiente.)
Passo 6
Combinando os resultados: a sequência é monótona crescente e é limitada superiormente (por
). Existe um teorema muito útil que vale a pena decorar para a prova: uma sequência monótona crescente e limitada superiormente converge. Assim
necessariamente converge a algum limite finito
. Agora determinamos esse limite.
Passo 7
Calculo do limite. Usando a expressão já obtida,
Sabemos que
quando
. Portanto
Para ser rigoroso com a definição
-
: dado
, escolha
tal que
(por exemplo, qualquer
serve). Então, para todo
,
logo
.
Passo 8
Resumo final do raciocínio (para a prova): calculei
, logo a sequência é estritamente crescente; mostrei
para todo
, então é limitada; por ser crescente e limitada, converge; e pelo cálculo
concluí que o limite é
.
Resposta
Monótona: estritamente crescente.
Limitada: sim; para todo
(por exemplo, superior
, inferior
).
Convergente: sim; .
Limitada: sim;
Convergente: sim;