Classifique as sequências abaixo como monótonas, limitadas, convergentes ou divergentes:
c_{n}=\frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência c_{n}=\frac{n}{n+1} (com n inteiro positivo, isto é, n\ge 1) e pede que eu classifique a sequência quanto a:
  • monotonicidade (crescente/decrescente/nenhuma),
  • ser limitada (sim/não; indicar cotas),
  • convergência ou divergência (e, se convergente, determinar o limite).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significam os termos que precisamos verificar — explico devagarinho para colar isso na prova:
  • Uma sequência (a_n) é estritamente crescente se, para todo n, a_{n+1}>a_n. É não decrescente se a_{n+1}\ge a_n.
  • Uma sequência é limitada superiormente se existe M tal que a_n\le M para todo n; limitada inferiormente se existe m tal que a_n\ge m para todo n. Se tem ambas, dizemos simplesmente “limitada”.
  • Uma sequência converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Se não converge para nenhum número finito, dizemos que diverge.
Vou aplicar essas definições passo a passo à sequência c_n.

Passo 3

Verificando monotonicidade por comparação entre termos consecutivos. Calculo c_{n+1}-c_n e simplifico passo a passo:
c_{n+1}-c_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}.
Coloco no mesmo denominador:
\frac{(n+1)(n+1)-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}.
Expando o numerador:
(n+1)^2 - n(n+2)= (n^2+2n+1)-(n^2+2n)=1.
Logo
c_{n+1}-c_n=\frac{1}{(n+2)(n+1)}.
Para todo n\ge 1 o denominador (n+2)(n+1) é positivo, então a diferença é positiva:
c_{n+1}-c_n>0\quad\text{para todo }n\ge 1.
Portanto (c_n) é estritamente crescente (ou seja, monótona crescente).

Passo 4

Um jeitinho para intuir o comportamento: calculemos os primeiros termos (isso ajuda a fixar na prova):
c_1=\frac{1}{2},\quad c_2=\frac{2}{3},\quad c_3=\frac{3}{4},\quad c_4=\frac{4}{5},\dots
Vê-se que cada termo aumenta e parece aproximar-se de 1. Isso concorda com o resultado do passo anterior.

Passo 5

Agora verifico se a sequência é limitada. Faço uma manipulação útil:
c_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Dessa forma fica claro que, para todo n\ge 1,
\frac{1}{n+1}>0\quad\Rightarrow\quad c_n=1-\frac{1}{n+1}<1.
Também \frac{1}{n+1}\le 1 (pois n+1\ge 1), então c_n=1-\frac{1}{n+1}\ge 0. Assim
0\le c_n<1\quad\text{para todo }n\ge 1.
Logo a sequência é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 1; portanto é limitada. (Observação: como é crescente, a menor cota entre os termos é c_1=\tfrac12, mas a cota geral simples 0 funciona e é suficiente.)

Passo 6

Combinando os resultados: a sequência é monótona crescente e é limitada superiormente (por 1). Existe um teorema muito útil que vale a pena decorar para a prova: uma sequência monótona crescente e limitada superiormente converge. Assim (c_n) necessariamente converge a algum limite finito L\le 1. Agora determinamos esse limite.

Passo 7

Calculo do limite. Usando a expressão já obtida,
c_n=1-\frac{1}{n+1}.
Sabemos que \frac{1}{n+1}\to 0 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} c_n = 1-0 = 1.
Para ser rigoroso com a definição \varepsilon- N: dado \varepsilon>0, escolha N tal que \frac{1}{N+1}<\varepsilon (por exemplo, qualquer N>\frac{1}{\varepsilon}-1 serve). Então, para todo n\ge N,
|c_n-1|=\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{N+1}<\varepsilon,
logo \lim_{n\to\infty} c_n=1.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (para a prova): calculei c_{n+1}-c_n=\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}>0, logo a sequência é estritamente crescente; mostrei 0\le c_n<1 para todo n, então é limitada; por ser crescente e limitada, converge; e pelo cálculo c_n=1-\dfrac{1}{n+1} concluí que o limite é 1.

Resposta

Monótona: estritamente crescente.
Limitada: sim; 0\le c_n<1 para todo n (por exemplo, superior 1, inferior 0).
Convergente: sim; \displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=1.

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