Classifique as sequências abaixo como monótonas, limitadas, convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida para
. Pede-se classificar a sequência quanto a:
- monotonicidade (crescente, decrescente ou não monotona);
- ser limitada (se existe um limite superior e/ou inferior finito);
- convergência (se converge e, em caso afirmativo, determinar o limite) ou divergência.
As informações relevantes: a fórmula explícita de
para cada
, e que
tende a infinito quando investigamos convergência.
Passo 2
Primeiro vamos mostrar que todos os termos são positivos e que há uma cota superior simples. Note que para
temos
, portanto
Para uma cota superior compare com
. Como
segue que
Conclusão desta etapa: para todo
vale
ou seja, a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 3
Agora investigamos a monotonicidade. Uma forma direta é comparar
com
calculando a diferença
Colocamos no mesmo denominador e examinamos o sinal do numerador. O numerador é
Expandindo cuidadosamente:
e
Subtraindo, obtemos
Como
para todo
e o denominador comum é produto de termos positivos, segue que
. Portanto a sequência é estritamente crescente (monótona crescente).
Observação didática rápida: comparar termos vizinhos via
é uma forma padrão de testar monotonicidade em sequências. Outra abordagem (mais “analítica”) seria considerar a função contínua
e verificar
para
; o cálculo discreto que fizemos é mais direto e rigoroso para sequências.
Passo 4
Temos agora duas informações-chave: a sequência é monótona crescente e é limitada superiormente por
. Pelo teorema da convergência monotona, toda sequência monótona e limitada converge. Logo
converge.
Para encontrar o limite, calculamos o comportamento quando
. Divida numerador e denominador por
:
Como
quando
, segue que
Passo 5
Resumo das classificações e justificativas curtas:
- Monotonicidade:
é estritamente crescente porque para todo . - Limitada:
para todo , logo limitada inferior e superiormente. - Convergência: é convergente (sequência monótona e limitada) e o limite é
.
Resposta
Monótona crescente.
Limitada: .
Convergente, .
Limitada:
Convergente,