Classifique as sequências abaixo como monótonas, limitadas, convergentes ou divergentes:
d_{n}=\frac{n^{2}}{2 n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
d_{n}=\frac{n^{2}}{2 n^{2}+3},
definida para n\in\mathbb{N}. Pede-se classificar a sequência quanto a:
  • monotonicidade (crescente, decrescente ou não monotona);
  • ser limitada (se existe um limite superior e/ou inferior finito);
  • convergência (se converge e, em caso afirmativo, determinar o limite) ou divergência.
As informações relevantes: a fórmula explícita de d_n para cada n, e que n tende a infinito quando investigamos convergência.

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que todos os termos são positivos e que há uma cota superior simples. Note que para n\ge 1 temos 2n^{2}+3>0, portanto
d_n=\frac{n^{2}}{2 n^{2}+3}>0.
Para uma cota superior compare com \frac{n^{2}}{2n^{2}}. Como 2n^{2}+3>2n^{2} segue que
d_n=\frac{n^{2}}{2 n^{2}+3}<\frac{n^{2}}{2n^{2}}=\frac{1}{2}.
Conclusão desta etapa: para todo n\ge1 vale
0<d_n<\frac{1}{2},
ou seja, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora investigamos a monotonicidade. Uma forma direta é comparar d_{n+1} com d_n calculando a diferença
d_{n+1}-d_n=\frac{(n+1)^{2}}{2(n+1)^{2}+3}-\frac{n^{2}}{2n^{2}+3}.
Colocamos no mesmo denominador e examinamos o sinal do numerador. O numerador é
\begin{aligned} N&=(n+1)^{2}\bigl(2n^{2}+3\bigr)-n^{2}\bigl(2(n+1)^{2}+3\bigr)\\\ &=(n^{2}+2n+1)(2n^{2}+3)-n^{2}\bigl(2(n^{2}+2n+1)+3\bigr). \end{aligned}
Expandindo cuidadosamente:
(n^{2}+2n+1)(2n^{2}+3)=2n^{4}+4n^{3}+5n^{2}+6n+3
e
n^{2}\bigl(2(n^{2}+2n+1)+3\bigr)=n^{2}(2n^{2}+4n+5)=2n^{4}+4n^{3}+5n^{2}.
Subtraindo, obtemos
N=(2n^{4}+4n^{3}+5n^{2}+6n+3)-(2n^{4}+4n^{3}+5n^{2})=6n+3=3(2n+1).
Como 3(2n+1)>0 para todo n\ge1 e o denominador comum é produto de termos positivos, segue que d_{n+1}-d_n>0. Portanto a sequência é estritamente crescente (monótona crescente).
Observação didática rápida: comparar termos vizinhos via d_{n+1}-d_n é uma forma padrão de testar monotonicidade em sequências. Outra abordagem (mais “analítica”) seria considerar a função contínua f(x)=\dfrac{x^{2}}{2x^{2}+3} e verificar f'(x)>0 para x>0; o cálculo discreto que fizemos é mais direto e rigoroso para sequências.

Passo 4

Temos agora duas informações-chave: a sequência é monótona crescente e é limitada superiormente por \tfrac{1}{2}. Pelo teorema da convergência monotona, toda sequência monótona e limitada converge. Logo d_n converge.
Para encontrar o limite, calculamos o comportamento quando n\to\infty. Divida numerador e denominador por n^{2}:
d_n=\frac{n^{2}}{2n^{2}+3}=\frac{1}{2+\dfrac{3}{n^{2}}}.
Como \dfrac{3}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} d_n=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Resumo das classificações e justificativas curtas:
  • Monotonicidade: d_n é estritamente crescente porque d_{n+1}-d_n=\dfrac{3(2n+1)}{(2(n+1)^2+3)(2n^2+3)}>0 para todo n\ge1.
  • Limitada: 0<d_n<\tfrac{1}{2} para todo n\ge1, logo limitada inferior e superiormente.
  • Convergência: é convergente (sequência monótona e limitada) e o limite é \tfrac{1}{2}.

Resposta

Monótona crescente.
Limitada: 0<d_n<\tfrac{1}{2}.
Convergente, \displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=\tfrac{1}{2}.

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