Enuncie a Lei da Conservação da Massa para um sistema fechado.

Passo 1

O que o enunciado pede: enunciar a Lei da Conservação da Massa para um sistema fechado.
Informações que temos (implícitas no pedido):
  • Trata-se de um “sistema fechado” (ou “massa de controle material”): uma porção de matéria identificada que não troca massa com o exterior.
  • A resposta deve explicar claramente o que permanece constante e formular isso matematicamente.

Passo 2

Enunciado verbal e simples (versão curta e direta):
Para um sistema fechado, a massa total do sistema permanece constante ao longo do tempo — isto é, não entra nem sai massa do sistema.

Passo 3

Enunciado em forma matemática (forma global, integral):
Seja m(t) a massa total do sistema em função do tempo. A Lei da Conservação da Massa para um sistema fechado afirma que
m(t)=\text{constante},
ou equivalentemente
\frac{d m}{d t}=0.

Passo 4

Como se calcula m(t) em termos de densidade: explicação passo a passo.
  • A massa do sistema pode ser obtida somando (integrando) a densidade no volume ocupado pela massa no instante t.
  • Escrevendo isso,
m(t)=\int_{V(t)} \rho(\mathbf{x},t)\,dV,
onde:
  • \rho(\mathbf{x},t) é a densidade de massa no ponto de posição \mathbf{x} e no tempo t;
  • V(t) é o domínio espacial ocupado pelo sistema naquele instante (pode mudar de forma ou posição com o tempo);
  • dV é um elemento de volume.

Passo 5

Relacionando a forma integral com a conservação:
Como o sistema é fechado, não há fluxo de massa através de sua fronteira. Portanto a derivada temporal total da integral de massa é zero:
\frac{d}{dt}\int_{V(t)} \rho(\mathbf{x},t)\,dV = 0.
Isto significa, em linguagem prática: mesmo que a densidade mude localmente (por compressão, aquecimento etc.) ou o volume mude de forma, a soma total de massa dentro do sistema não se altera.

Passo 6

Ligação com a forma local (continuidade) — explicação sem jargão pesado:
A forma diferencial (local) da conservação de massa, válida para campos contínuos de massa, é
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot(\rho\,\mathbf{v}) = 0,
onde \mathbf{v}(\mathbf{x},t) é o campo de velocidade do material.
O que isso diz intuitivamente: a taxa de variação temporal da densidade num ponto mais a divergência do fluxo de massa naquele ponto soma zero. Integrando essa equação sobre um volume que se move com o fluido (um sistema fechado) chega-se à condição \dfrac{d}{dt}\int_{V(t)}\rho\,dV=0.

Passo 7

Exemplos e contraexemplos curtos para fixar (modo “sem drama”):
  • Exemplo fechado: uma garrafa bem selada com ar dentro — mesmo aquecendo o ar, a massa do ar dentro da garrafa não muda.
  • Exemplo aberto (não é sistema fechado): um foguete que ejeta combustível — aqui a massa do sistema que contém apenas o foguete muda com o tempo, logo \dfrac{dm}{dt}\neq0.
  • Observação sobre reações químicas: reações químicas dentro do sistema fechado não violam a conservação clássica da massa (a massa total dos reagentes + produtos permanece a mesma — desconsiderando efeitos relativísticos).

Passo 8

Dica para prova (prática):
Se pedirem “enuncie” ou “mostre” a lei, escreva a frase curta (Passo 2) e logo apresente a formulação integral \dfrac{d}{dt}\int_{V(t)}\rho\,dV=0 ou a forma \dfrac{dm}{dt}=0. Se pedirem derivar, mostre a passagem da forma local (continuidade) para a forma integral ou vice‑versa.

Resposta

Para um sistema fechado, a massa total do sistema permanece constante no tempo, isto é, m(t)=\text{constante} ou \dfrac{d m}{d t}=0.

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