Enuncie a Lei da Conservação da Massa para um sistema fechado.
Passo 1
O que o enunciado pede: enunciar a Lei da Conservação da Massa para um sistema fechado.
Informações que temos (implícitas no pedido):
Informações que temos (implícitas no pedido):
- Trata-se de um “sistema fechado” (ou “massa de controle material”): uma porção de matéria identificada que não troca massa com o exterior.
- A resposta deve explicar claramente o que permanece constante e formular isso matematicamente.
Passo 2
Enunciado verbal e simples (versão curta e direta):
Para um sistema fechado, a massa total do sistema permanece constante ao longo do tempo — isto é, não entra nem sai massa do sistema.
Para um sistema fechado, a massa total do sistema permanece constante ao longo do tempo — isto é, não entra nem sai massa do sistema.
Passo 3
Enunciado em forma matemática (forma global, integral):
Seja a massa total do sistema em função do tempo. A Lei da Conservação da Massa para um sistema fechado afirma que
Seja
ou equivalentemente
Passo 4
Como se calcula
em termos de densidade: explicação passo a passo.
- A massa do sistema pode ser obtida somando (integrando) a densidade no volume ocupado pela massa no instante
. - Escrevendo isso,
onde:
-
é a densidade de massa no ponto de posição e no tempo ; -
é o domínio espacial ocupado pelo sistema naquele instante (pode mudar de forma ou posição com o tempo); -
é um elemento de volume.
Passo 5
Relacionando a forma integral com a conservação:
Como o sistema é fechado, não há fluxo de massa através de sua fronteira. Portanto a derivada temporal total da integral de massa é zero:
Como o sistema é fechado, não há fluxo de massa através de sua fronteira. Portanto a derivada temporal total da integral de massa é zero:
Isto significa, em linguagem prática: mesmo que a densidade mude localmente (por compressão, aquecimento etc.) ou o volume mude de forma, a soma total de massa dentro do sistema não se altera.
Passo 6
Ligação com a forma local (continuidade) — explicação sem jargão pesado:
A forma diferencial (local) da conservação de massa, válida para campos contínuos de massa, é
A forma diferencial (local) da conservação de massa, válida para campos contínuos de massa, é
onde
é o campo de velocidade do material.
O que isso diz intuitivamente: a taxa de variação temporal da densidade num ponto mais a divergência do fluxo de massa naquele ponto soma zero. Integrando essa equação sobre um volume que se move com o fluido (um sistema fechado) chega-se à condição .
O que isso diz intuitivamente: a taxa de variação temporal da densidade num ponto mais a divergência do fluxo de massa naquele ponto soma zero. Integrando essa equação sobre um volume que se move com o fluido (um sistema fechado) chega-se à condição
Passo 7
Exemplos e contraexemplos curtos para fixar (modo “sem drama”):
- Exemplo fechado: uma garrafa bem selada com ar dentro — mesmo aquecendo o ar, a massa do ar dentro da garrafa não muda.
- Exemplo aberto (não é sistema fechado): um foguete que ejeta combustível — aqui a massa do sistema que contém apenas o foguete muda com o tempo, logo
. - Observação sobre reações químicas: reações químicas dentro do sistema fechado não violam a conservação clássica da massa (a massa total dos reagentes + produtos permanece a mesma — desconsiderando efeitos relativísticos).
Passo 8
Dica para prova (prática):
Se pedirem “enuncie” ou “mostre” a lei, escreva a frase curta (Passo 2) e logo apresente a formulação integral ou a forma
. Se pedirem derivar, mostre a passagem da forma local (continuidade) para a forma integral ou vice‑versa.
Se pedirem “enuncie” ou “mostre” a lei, escreva a frase curta (Passo 2) e logo apresente a formulação integral
Resposta
Para um sistema fechado, a massa total do sistema permanece constante no tempo, isto é,
ou
.