Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova (completa) por contradição:
se d>1 e d \mid n então d não divide n+1.

Passo 1

O enunciado trata de divisibilidade em \mathbb{Z} e pede uma prova por contradição de que, se d>1 e d\mid n, então é impossível ter d\mid(n+1). Vamos usar a definição de divisibilidade e o fato de que os únicos divisores de 1 em \mathbb{Z} são \pm1.

Passo 2

Enunciado preciso com quantificadores e domínios:
\forall d,n\in\mathbb{Z},\;\bigl(d>1\wedge d\mid n\bigr)\;\Longrightarrow\;\neg\bigl(d\mid(n+1)\bigr).

Passo 3

Prova por contradição. Suponha, em busca de contradição, que
  1. d>1,
  2. d\mid n,
  3. d\mid(n+1).
Da condição d\mid n existe algum k\in\mathbb{Z} tal que
n = d\,k.
Da condição d\mid(n+1) existe algum \ell\in\mathbb{Z} tal que
n+1 = d\,\ell.

Passo 4

Subtraindo as duas igualdades:
(n+1) - n = d\,\ell - d\,k \quad\Longrightarrow\quad 1 = d\,(\ell - k).
Isso mostra que d divide 1, i.e., d\mid1.

Passo 5

Mas em \mathbb{Z} os únicos divisores de 1 são 1 e -1. Logo d\in\{1,-1\}. Isso contradiz a hipótese d>1. Portanto nossa suposição leva a contradição.

Passo 6

Concluímos que não pode ocorrer simultaneamente d>1, d\mid n e d\mid(n+1). Assim a proposição original é verdadeira.

Resposta

\forall d,n\in\mathbb{Z},\;\bigl(d>1\wedge d\mid n\bigr)\;\Longrightarrow\;\neg\bigl(d\mid(n+1)\bigr).

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