Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova (completa) por contradição:
se
e
então
não divide
.
se
Passo 1
O enunciado trata de divisibilidade em
e pede uma prova por contradição de que, se
e
, então é impossível ter
. Vamos usar a definição de divisibilidade e o fato de que os únicos divisores de
em
são
.
Passo 2
Enunciado preciso com quantificadores e domínios:
Passo 3
Prova por contradição. Suponha, em busca de contradição, que
-
, -
, -
.
Da condição
existe algum
tal que
Da condição
existe algum
tal que
Passo 4
Subtraindo as duas igualdades:
Isso mostra que
divide
, i.e.,
.
Passo 5
Mas em
os únicos divisores de
são
e
. Logo
. Isso contradiz a hipótese
. Portanto nossa suposição leva a contradição.
Passo 6
Concluímos que não pode ocorrer simultaneamente
,
e
. Assim a proposição original é verdadeira.