Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova pela contra-positiva (completa, com todos os passos importantes necessários):
se
então
.
se
Passo 1
Seja
um conjunto arbitrário (o “universo de discurso”) e sejam
e
dois subconjuntos de
. Queremos mostrar a proposição
Aqui o quantificador é “para todo
”, e usamos as definições
Passo 2
Em vez de provar diretamente “
”, faremos a prova pela contrapositiva. A contrapositiva da implicação
é
Ou seja, vamos assumir
e concluir que
.
Passo 3
Suponha
. Então, pela definição de interseção, temos simultaneamente
Para mostrar
, basta ver que
significa “não
e
”. Mas como já vimos
, a condição
é falsa, e portanto a conjunção
é falsa. Logo
Passo 4
Como provamos a contrapositiva, concluímos que a proposição original é verdadeira: