Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova pela contra-positiva (completa, com todos os passos importantes necessários):
se x \in \mathrm{~B} \backslash \mathrm{~A} então x \notin \mathrm{~A} \cap \mathrm{~B}.

Passo 1

Seja U um conjunto arbitrário (o “universo de discurso”) e sejam A e B dois subconjuntos de U. Queremos mostrar a proposição
\forall x\in U,\;\bigl(x\in B\setminus A \;\Longrightarrow\; x\notin A\cap B\bigr).
Aqui o quantificador é “para todo x\in U”, e usamos as definições
x\in B\setminus A \;\Longleftrightarrow\; (x\in B)\wedge(x\notin A),
x\in A\cap B \;\Longleftrightarrow\; (x\in A)\wedge(x\in B).

Passo 2

Em vez de provar diretamente “ p\implies q”, faremos a prova pela contrapositiva. A contrapositiva da implicação
x\in B\setminus A \;\Longrightarrow\; x\notin A\cap B
é
x\in A\cap B \;\Longrightarrow\; x\notin B\setminus A.
Ou seja, vamos assumir x\in A\cap B e concluir que x\notin B\setminus A.

Passo 3

Suponha x\in A\cap B. Então, pela definição de interseção, temos simultaneamente
x\in A \quad\text{e}\quad x\in B.
Para mostrar x\notin B\setminus A, basta ver que x\notin B\setminus A significa “não (x\in B e x\notin A)”. Mas como já vimos x\in A, a condição x\notin A é falsa, e portanto a conjunção (x\in B)\wedge(x\notin A) é falsa. Logo
x\notin B\setminus A.

Passo 4

Como provamos a contrapositiva, concluímos que a proposição original é verdadeira:
\forall x\in U,\;x\in B\setminus A \;\Longrightarrow\; x\notin A\cap B.

Resposta

\forall x\in U,\;x\in B\setminus A \implies x\notin A\cap B.

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