Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova direta (completa, com todos os passos importantes necessários) para:
se
divide
e
divide
então
divide
.
se
Passo 1
Precisamos enunciar e provar a seguinte proposição sobre divisibilidade de inteiros. O domínio de todas as variáveis será o conjunto dos inteiros
. Para isso, usaremos a definição:
– Dizemos que “
divide
” (escrevemos
) se, e somente se, existe um inteiro
tal que
.
A proposição a enunciar e provar é: se
e
, então
.
Passo 2
Prova direta:
- Seja
tais que e . - Da hipótese
segue que existe com
- Da hipótese
segue que existe com
- Substituindo
em , temos
- Como
e são inteiros, o produto também é um inteiro, . Logo
o que, pela definição de divisibilidade, significa
.
6. Concluímos, portanto, que sempre que e
, então
.
6. Concluímos, portanto, que sempre que
Resposta
A proposição, com quantificadores e domínio explicitados, é