Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova direta (completa, com todos os passos importantes necessários) para:
se a divide b e b divide c então a divide c.

Passo 1

Precisamos enunciar e provar a seguinte proposição sobre divisibilidade de inteiros. O domínio de todas as variáveis será o conjunto dos inteiros \mathbb{Z}. Para isso, usaremos a definição:
– Dizemos que “ x divide y” (escrevemos x\mid y) se, e somente se, existe um inteiro q tal que y = x\,q.
A proposição a enunciar e provar é: se a\mid b e b\mid c, então a\mid c.

Passo 2

Prova direta:
  1. Seja a,b,c\in\mathbb{Z} tais que a\mid b e b\mid c.
  2. Da hipótese a\mid b segue que existe k\in\mathbb{Z} com
b = a\,k.
  1. Da hipótese b\mid c segue que existe \ell\in\mathbb{Z} com
c = b\,\ell.
  1. Substituindo b = a\,k em c = b\,\ell, temos
c = (a\,k)\,\ell = a\,(k\,\ell).
  1. Como k e \ell são inteiros, o produto m = k\,\ell também é um inteiro, m\in\mathbb{Z}. Logo
c = a\,m,
o que, pela definição de divisibilidade, significa a\mid c.
6. Concluímos, portanto, que sempre que a\mid b e b\mid c, então a\mid c.

Resposta

A proposição, com quantificadores e domínio explicitados, é
\forall a,b,c \in \mathbb{Z},\;\bigl((\exists k\in \mathbb{Z}\;b=ak)\;\wedge\;(\exists \ell\in \mathbb{Z}\;c=b\ell)\bigr)\;\Longrightarrow\;(\exists m\in \mathbb{Z}\;c=am).

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