Enuncie a recíproca de cada teorema a seguir usando o mesmo estilo com que cada um foi apresentado:
Se duas retas forem cortadas por uma transversal, e as medidas dos ângulos correspondentes forem iguais, então essas retas são paralelas.
Se duas retas forem cortadas por uma transversal, e as medidas dos ângulos correspondentes forem iguais, então essas retas são paralelas.
Passo 1
O enunciado original é: “Se duas retas forem cortadas por uma transversal, e as medidas dos ângulos correspondentes forem iguais, então essas retas são paralelas.”\n\nO que o exercício pede: enunciar a recíproca desse teorema, mantendo o mesmo estilo “Se … então …”.
Passo 2
O que é a recíproca de um teorema?
Se um teorema tem a forma "Se então
", a recíproca é a afirmação "Se
então
".
Observação importante (didática e prática): a recíproca pode ser verdadeira ou falsa dependendo do teorema; cada recíproca precisa ser avaliada ou provada. Aqui vamos formar a recíproca e também comentar rapidamente por que ela é verdadeira neste caso.
Se um teorema tem a forma "Se
Observação importante (didática e prática): a recíproca pode ser verdadeira ou falsa dependendo do teorema; cada recíproca precisa ser avaliada ou provada. Aqui vamos formar a recíproca e também comentar rapidamente por que ela é verdadeira neste caso.
Passo 3
Identificar
e
no teorema dado.
No enunciado original, a hipótese (parte após “Se”) contém duas condições: (i) “duas retas forem cortadas por uma transversal” e (ii) “as medidas dos ângulos correspondentes forem iguais”. A conclusão (após “então”) é: “essas retas são paralelas.”
A recíproca troca hipótese e conclusão: devemos partir de “essas retas são paralelas” e concluir algo sobre os ângulos correspondentes — lembrando que, para falar em ângulos correspondentes, mantemos a situação de as retas serem cortadas por uma transversal.
No enunciado original, a hipótese (parte após “Se”) contém duas condições: (i) “duas retas forem cortadas por uma transversal” e (ii) “as medidas dos ângulos correspondentes forem iguais”. A conclusão (após “então”) é: “essas retas são paralelas.”
A recíproca troca hipótese e conclusão: devemos partir de “essas retas são paralelas” e concluir algo sobre os ângulos correspondentes — lembrando que, para falar em ângulos correspondentes, mantemos a situação de as retas serem cortadas por uma transversal.
Passo 4
Formular a recíproca no mesmo estilo “Se … então …”:
“Se duas retas forem paralelas e forem cortadas por uma transversal, então as medidas dos ângulos correspondentes são iguais.”
“Se duas retas forem paralelas e forem cortadas por uma transversal, então as medidas dos ângulos correspondentes são iguais.”
Passo 5
Breve explicação (prova intuitiva e didática) de por que essa recíproca é verdadeira:
- Denotar as retas por
e e a transversal por . Suponha e paralelas e que as corta. - Considere um ângulo
formado em e o ângulo correspondente formado em (mesma posição relativa à reta e à transversal). - Há um ângulo
em que é alterno interno a . Para retas paralelas vale a propriedade de que ângulos alternos internos são iguais, então . - Os ângulos
e são ângulos verticais (formados pelas mesmas duas retas no ponto de interseção em ), e ângulos verticais são iguais; assim . - Conclui-se
. Portanto, retas paralelas cortadas por uma transversal geram ângulos correspondentes congruentes.
Resposta
Se duas retas forem paralelas e forem cortadas por uma transversal, então as medidas dos ângulos correspondentes são iguais.