Enuncie as relações de de Broglie para a frequência e comprimento de onda das ondas associadas a elétrons e mostre que, juntamente com a condição de onda estacionária, elas são coerentes com a quantização do momento angular no átomo de hidrogênio (modelo de Bohr).
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O exercício pede duas coisas:
- Enunciar as relações de Broglie para um elétron – ou seja, a frequência
e o comprimento de onda da “onda de matéria” que ele carrega. - Mostrar que, se a gente ainda impõe a condição de onda estacionária no anel (modelo de Bohr), esse lance de onda de matéria casa direitinho com a famosa quantização do momento angular
.
Conteúdo envolvido: conceito de onda de matéria (de Broglie), relação onda–partícula (
,
), e postulado de Bohr (onda estacionária no átomo). Vamos precisar das fórmulas de energia e momento de um elétron não‐relativístico e do raciocínio de “circunferência = número inteiro de comprimentos de onda”.
Passo 2
Primeiro, as relações de Broglie:
- Comprimento de onda:
onde
é a constante de Planck e
o momento linear do elétron (
se for não‐relativístico).
- Frequência da onda de matéria:
Aqui
é a energia associada ao elétron. Se pensarmos só na energia cinética
, então
Explicando a teoria rapidinho: de Broglie sugeriu que toda partícula se comporta como uma onda, e que comprimento de onda e frequência obedecem a essas fórmulas – ligando mecânica quântica à ondulatória.
Passo 3
No modelo de Bohr a gente imagina o elétron descrevendo órbitas circulares “estáveis” se, e somente se, a onda associada ao elétron formar uma onda estacionária.
Isto quer dizer que a circunferência da órbita deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
Isto quer dizer que a circunferência da órbita deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
Assim não tem “ponta solta” de onda: caindo certinho na volta.
Passo 4
Agora junta as duas ideias: na condição de onda estacionária substituímos
:
E como
, fica
— exatamente a quantização do momento angular de Bohr!
Resposta
As relações de Broglie são
e
.
Impondo com
, obtemos
,
mostrando que está tudo coerente com a quantização do momento angular no átomo de hidrogênio.
Impondo
mostrando que está tudo coerente com a quantização do momento angular no átomo de hidrogênio.