Enuncie as relações de de Broglie para a frequência e comprimento de onda das ondas associadas a elétrons e mostre que, juntamente com a condição de onda estacionária, elas são coerentes com a quantização do momento angular no átomo de hidrogênio (modelo de Bohr).

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O exercício pede duas coisas:
  1. Enunciar as relações de Broglie para um elétron – ou seja, a frequência e o comprimento de onda da “onda de matéria” que ele carrega.
  2. Mostrar que, se a gente ainda impõe a condição de onda estacionária no anel (modelo de Bohr), esse lance de onda de matéria casa direitinho com a famosa quantização do momento angular .
Conteúdo envolvido: conceito de onda de matéria (de Broglie), relação onda–partícula ( , ), e postulado de Bohr (onda estacionária no átomo). Vamos precisar das fórmulas de energia e momento de um elétron não‐relativístico e do raciocínio de “circunferência = número inteiro de comprimentos de onda”.

Passo 2

Primeiro, as relações de Broglie:
  • Comprimento de onda:
lambda ;=;hp
onde f;=;Eh é a constante de Planck e f ;=;Kh ;=;p^22mh, o momento linear do elétron ( se for não‐relativístico).
  • Frequência da onda de matéria:
Aqui é a energia associada ao elétron. Se pensarmos só na energia cinética , então
Explicando a teoria rapidinho: de Broglie sugeriu que toda partícula se comporta como uma onda, e que comprimento de onda e frequência obedecem a essas fórmulas – ligando mecânica quântica à ondulatória.

Passo 3

No modelo de Bohr a gente imagina o elétron descrevendo órbitas circulares “estáveis” se, e somente se, a onda associada ao elétron formar uma onda estacionária.
Isto quer dizer que a circunferência da órbita deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
2pi r ;=; n,lambda , n = 1,2,3,dots
Assim não tem “ponta solta” de onda: caindo certinho na volta.

Passo 4

Agora junta as duas ideias: na condição de onda estacionária substituímos 2pi r ;=; n,hp ;Longrightarrow; p,r ;=;n,h2pi :
m,v,r ;=; n,h2pi ;=;n,hbar
E como , fica
— exatamente a quantização do momento angular de Bohr!

Resposta

As relações de Broglie são
e .
Impondo com , obtemos
,
mostrando que está tudo coerente com a quantização do momento angular no átomo de hidrogênio.

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