Supondo que a equação
define uma função
, utilize derivação implícita para calcular
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e diz que ela define uma função
. O que é pedido: calcular
(a derivada de
em relação a
) supondo que
depende de
.
Informações relevantes:
- A equação relaciona
e de forma implícita. - Deve-se usar diferenciação implícita porque
aparece em potências e não está isolada. - Não há valores numéricos específicos de
ou fornecidos — queremos a expressão geral para .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e fórmulas que vou usar).
- Quando uma equação relaciona
e e depende de , diferenciamos ambos os lados em relação a . Ao derivar termos que envolvem aplicamos a regra da cadeia: se , então a derivada de é
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de uma expressão linear
é .
Vou aplicar essas regras termo a termo na equação dada.
Passo 3
Derivo ambos os lados da equação em relação a
.
Derivada do lado esquerdo termo a termo:
-
. -
. -
pela regra da cadeia (pois depende de ).
Derivada do lado direito:
-
.
Portanto, após derivar obtemos a igualdade
Passo 4
Agora faço manipulação algébrica para agrupar os termos que contêm
.
Primeiro movo
para o outro lado (somando
em ambos os lados):
Em seguida, trago todos os termos com
para o mesmo lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Para isolar
divido ambos os lados por
, tomando cuidado que essa quantidade não seja zero (ou seja, só se pode dividir quando
). Isso fornece a expressão final para a derivada.