Supondo que a equação 5-x^{2}+4 y^{3}=7 y define uma função y=f(x), utilize derivação implícita para calcular \frac{d y}{d x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
5 - x^{2} + 4 y^{3} = 7 y,
e diz que ela define uma função y=f(x). O que é pedido: calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x) supondo que y depende de x.
Informações relevantes:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita.
  • Deve-se usar diferenciação implícita porque y aparece em potências e não está isolada.
  • Não há valores numéricos específicos de x ou y fornecidos — queremos a expressão geral para \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e fórmulas que vou usar).
  • Quando uma equação relaciona x e y e y depende de x, diferenciamos ambos os lados em relação a x. Ao derivar termos que envolvem y aplicamos a regra da cadeia: se y=y(x), então a derivada de y^{n} é
\frac{d}{dx}\bigl(y^{n}\bigr)=n\,y^{\,n-1}\,\frac{dy}{dx}.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • A derivada de uma expressão linear a\,y é a\,\dfrac{dy}{dx}.
Vou aplicar essas regras termo a termo na equação dada.

Passo 3

Derivo ambos os lados da equação em relação a x.
Derivada do lado esquerdo termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(5)=0.
  • \dfrac{d}{dx}(-x^{2}) = -2x.
  • \dfrac{d}{dx}(4 y^{3}) = 4\cdot 3 y^{2}\cdot \dfrac{dy}{dx} = 12 y^{2}\,\dfrac{dy}{dx} pela regra da cadeia (pois y depende de x).
Derivada do lado direito:
  • \dfrac{d}{dx}(7 y) = 7\,\dfrac{dy}{dx}.
Portanto, após derivar obtemos a igualdade
0 - 2x + 12 y^{2}\,\dfrac{dy}{dx} = 7\,\dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora faço manipulação algébrica para agrupar os termos que contêm \dfrac{dy}{dx}.
Primeiro movo -2x para o outro lado (somando 2x em ambos os lados):
12 y^{2}\,\dfrac{dy}{dx} = 7\,\dfrac{dy}{dx} + 2x.
Em seguida, trago todos os termos com \dfrac{dy}{dx} para o mesmo lado:
12 y^{2}\,\dfrac{dy}{dx} - 7\,\dfrac{dy}{dx} = 2x.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\bigl(12 y^{2} - 7\bigr)\,\dfrac{dy}{dx} = 2x.

Passo 5

Para isolar \dfrac{dy}{dx} divido ambos os lados por \bigl(12 y^{2} - 7\bigr), tomando cuidado que essa quantidade não seja zero (ou seja, só se pode dividir quando 12 y^{2}-7 \neq 0). Isso fornece a expressão final para a derivada.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{12 y^{2}-7}

Exercícios relacionados