Enuncie o TFC e use-o para calcular as seguintes integrais definidas:
integral0^2(1+2 x)^3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e aplicá-lo para calcular
integral0^2(1+2x)^3,dx
O conteúdo principal é o TFC, que liga antiderivadas a integrais definidas.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a)

Passo 3

Para encontrar uma antiderivada de f(x)=(1+2x)^3, usamos a substituição u=1+2x, logo du=2,dx e dx=tfrac12du. Assim
integral(1+2x)^3,dx = integral u^3cdot 12,du = 12,u^44 + C = u^48 + C
Voltando a x, uma antiderivada é
F(x) = (1+2x)^48

Passo 4

Aplicando o TFC em a=0 e b=2:
integral0^2(1+2x)^3,dx = F(2)-F(0) = (1+2cdot2)^48 ;-; (1+2cdot0)^48 = 5^48 - 1^48 = 625-18 = 6248 = 78

Resposta

78

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