Os exercícios seguintes tratam de aplicações das equações diferenciais de primeira ordem em várias áreas do conhecimento.
(Preparando um Salmão…) Um filé de salmão, inicialmente a 50^circ F, é cozido num forno com temperatura constante de 400^circ F. Após 10 minutos, a temperatura do filé é de 150^circ F. Considerando que o peixe é fino e macio, suponhamos temperatura uniforme. Quanto tempo leva para que o salmão seja consisderado mal passado, digamos a 200^circ F ?

Passo 1

O enunciado trata de um filé de salmão, que inicia em 50^circF e é assado num forno a 400^circF. Após 10 min, a temperatura do peixe é 150^circF. Supondo temperatura uniforme no filé, vamos usar a Lei de Newton do Arrefecimento/Cocção, que gera uma equação diferencial de primeira ordem para T(t).

Passo 2

Pela Lei de Newton, a taxa de variação de T é proporcional à diferença entre a temperatura do forno Ts=400^circF e T. Assim,
dTdt = kl(400 - Tr)
Separamos variáveis e integramos:
integral dT400 - T = integral k,dt Longrightarrow -,lnl|400 - Tr| = kt + C
Definindo C' = e^C, obtemos
400 - T = C',e^-,k t Longrightarrow T(t) = 400 - C',e^-,k t

Passo 3

Usando T(0)=50, temos
50 = 400 - C',e^0 Longrightarrow C' = 400 - 50 = 350
Logo
T(t) = 400 - 350,e^-,k t

Passo 4

Agora impomos T(10)=150:
150 = 400 - 350,e^-10k Longrightarrow 350,e^-10k = 250 Longrightarrow e^-10k = 57
-10k = ln!l(tfrac57r) Longrightarrow k = -tfrac110ln!l(tfrac57r) = tfrac110ln!l(tfrac75r)

Passo 5

Para achar o tempo t em que T(t)=200, colocamos na solução:
200 = 400 - 350,e^-k t Longrightarrow 350,e^-k t = 200 Longrightarrow e^-k t = 47
Tomando logaritmo,
-,k,t = ln!l(tfrac47r) Longrightarrow t = -1kln!l(tfrac47r) = ln(7/4)k
Substituindo k=tfrac110ln(7/5),
t = 10,ln(7/4)ln(7/5)

Passo 6

Calculando numericamente:
ln!l(tfrac74r)approx0,5596, ln!l(tfrac75r)approx0,3365,
t approx 10 times 0,55960,3365approx 16,6 minutos

Resposta

Demora aproximadamente 16,6 minutos para o salmão atingir 200^circF e ser considerado mal passado.

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