1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(d) toda seqüência monótona é convergente;
(d) toda seqüência monótona é convergente;
Passo 1
O enunciado está perguntando se “toda sequência monótona é convergente”. O conteúdo aqui é de sequências numéricas, em particular a relação entre monotonicidade e convergência. Para resolver, vamos lembrar o Teorema da Convergência Monótona, que diz que toda sequência que é ao mesmo tempo monotônica e limitada é convergente.
Passo 2
A afirmativa “toda sequência monótona é convergente” ignora a necessidade de limite finito; pelo teorema, a monotonicidade sozinha não garante convergência, falta a condição de ser limitada. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Como contra-exemplo, considere a sequência
definida por
Essa sequência é estritamente crescente (logo monótona), pois
. Porém ela não é limitada superiormente e tende a
, portanto não converge para nenhum número real finito.
Resposta
Falso. Contra-exemplo:
com
é monótona crescente e diverge para
.