1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
® a seqüência an definida por a1=1 e an+1=1-an é convergente;

Passo 1

O enunciado pergunta se a sequência an dada por
a1=1, an+1=1 - an
é convergente. Vamos usar o conceito de convergência: se an converge a L, então qualquer subsequência também converge a L, e podemos tentar obter L da própria relação de recorrência.

Passo 2

Calculemos alguns termos para ver o comportamento:
a1=1, a2=1 - a1=0, a3=1 - a2=1, a4=1 - a3=0,
e assim por diante. Logo an=1 se n é ímpar, e an=0 se n é par.

Passo 3

Como a sequência só assume os valores 1 e 0 alternadamente, ela não se aproxima de um único número. Em particular, a subsequência dos índices ímpares converge para 1 e a dos índices pares converge para 0. Se an fosse convergente, todas as suas subsequências teriam o mesmo limite, o que não ocorre.

Passo 4

Alternativamente, suponha que an convergisse para algum L. Fazendo ntoinfty na relação an+1=1-an teríamos
L = 1 - L Longrightarrow L = tfrac12
Mas nenhum termo da sequência vale tfrac12, pois só existem 0 e 1. Isso também mostra que não há convergência.

Resposta

A afirmação é falsa; a sequência oscila entre 1 e 0 e não converge a um único valor.

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