1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
® a seqüência
definida por
e
é convergente;
® a seqüência
Passo 1
O enunciado pergunta se a sequência
dada por
é convergente. Vamos usar o conceito de convergência: se
converge a
, então qualquer subsequência também converge a
, e podemos tentar obter
da própria relação de recorrência.
Passo 2
Calculemos alguns termos para ver o comportamento:
e assim por diante. Logo
se
é ímpar, e
se
é par.
Passo 3
Como a sequência só assume os valores
e
alternadamente, ela não se aproxima de um único número. Em particular, a subsequência dos índices ímpares converge para
e a dos índices pares converge para
. Se
fosse convergente, todas as suas subsequências teriam o mesmo limite, o que não ocorre.
Passo 4
Alternativamente, suponha que
convergisse para algum
. Fazendo
na relação
teríamos
Mas nenhum termo da sequência vale
, pois só existem
e
. Isso também mostra que não há convergência.
Resposta
A afirmação é falsa; a sequência oscila entre
e
e não converge a um único valor.