Use o Teorema de L’Hopital para calcular os limites abaixo
lim x 1 ln (x)x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1ln(x)x-1
usando o Teorema de L’Hôpital. Esse teorema diz que, se ao substituir o ponto na expressão formarmos uma indeterminação do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty, então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=1:
ln(1)=0 e 1-1=0, logo a expressão original é do tipo tfrac00, permitindo aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
a derivada de ln(x) é tfrac1x e a derivada de x-1 é 1.

Passo 4

Pelo Teorema de L’Hôpital,
limxto1ln(x)x-1 =limxto1tfrac1x1 =limxto11x =1

Resposta

1

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