envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
5. d y / d t=e^{-y}-1, \quad -\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt}=e^{-y}-1,
com condição inicial \,-\infty<y_0<\infty. O que é pedido (em linguagem clara) é:
  • Esboçar o gráfico de f(y)=e^{-y}-1 em função de y.
  • Determinar os pontos críticos (pontos de equilíbrio), isto é, valores de y tais que f(y)=0.
  • Classificar cada ponto de equilíbrio como assintoticamente estável ou instável.
  • Desenhar a reta de fase (setas indicando o sentido do movimento em cada região do eixo y).
  • Esboçar vários gráficos de soluções y(t) no plano t\!y (comportamento temporal para diferentes y_0).

Passo 2

Identificar os pontos de equilíbrio: são as soluções de
e^{-y}-1=0.
Resolver isso: e^{-y}=1. Como a exponencial é igual a 1 apenas quando o expoente é 0, obtemos
y=0.
Logo há exatamente um ponto de equilíbrio: y^*=0.

Passo 3

Esboço qualitativo de f(y)=e^{-y}-1 e sinais de f.
Primeiro, algumas propriedades fáceis de ver:
  • Quando y\to+\infty, e^{-y}\to0, então f(y)\to -1 (valor negativo).
  • Quando y\to-\infty, e^{-y}\to+\infty, então f(y)\to +\infty (valor positivo).
  • Em y=0, f(0)=e^{0}-1=0.
  • A função f é suave e monotonicamente estritamente decrescente porque sua derivada é negativa (ver passo seguinte).
Portanto o gráfico de f(y) cruza o eixo horizontal em y=0, é positivo à esquerda de 0 e negativo à direita de 0. Em palavras: para y<0 temos f(y)>0 (setas para cima) e para y>0 temos f(y)<0 (setas para baixo).

Passo 4

Determinar estabilidade por linearização (critério da derivada).
Calcular a derivada de f:
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(e^{-y}-1\bigr)=-e^{-y}.
Avaliar em y^*=0:
f'(0)=-e^{0}=-1.
Como f'(0)=-1<0, o critério linear diz que o equilíbrio y=0 é uma hiperesfera de estabilidade do tipo atrator linear — isto é, assintoticamente estável (sumidouro). Intuição simples: derivada negativa significa que pequenas perturbações são corrigidas, o fluxo aponta de volta para o ponto.

Passo 5

Construir e explicar a reta de fase (linha de fase unidimensional).
A reta de fase é o eixo y com setas indicando o sinal de \dot y=f(y):
  • Para y<0: f(y)>0 → setas apontam para a direita (ou para cima, no eixo y) ou, em termos temporais, y aumenta.
  • Em y=0: ponto de equilíbrio (seta nula).
  • Para y>0: f(y)<0 → setas apontam para a esquerda (ou para baixo), y diminui.
Assim, em ambos os lados as setas apontam para y=0, confirmando que y=0 atrai trajetórias.

Passo 6

Resolver a equação explicitamente (separação de variáveis) para ver o comportamento temporal e praticar cálculo.
A equação é separável:
\frac{dy}{dt}=e^{-y}-1.
Reescrever o denominador convenientemente e separar:
\frac{dy}{e^{-y}-1}=dt.
Usar a substituição u=e^{y}, então du=e^{y}dy e dy=\frac{du}{u}. Note que e^{-y}-1=\frac{1}{u}-1=\frac{1-u}{u}. Assim
\frac{dy}{e^{-y}-1} = \frac{\frac{du}{u}}{\frac{1-u}{u}} = \frac{du}{1-u} = -\frac{du}{u-1}.
Integrando ambos os lados:
-\int\frac{du}{u-1}=\int dt \quad\Rightarrow\quad -\ln|u-1|=t+C.
Voltar para y usando u=e^{y}:
-\ln\bigl|e^{y}-1\bigr|=t+C.
Rearranjando,
\ln\bigl|e^{y}-1\bigr|= -t + C',
\bigl|e^{y}-1\bigr|=K e^{-t},
onde K>0 é constante. Tirando o valor sem o |\cdot| e incorporando sinal numa constante A (que pode ser positiva ou negativa),
e^{y}-1 = A e^{-t}.
Aplicando a condição inicial y(0)=y_0 A=e^{y_0}-1. Portanto a solução explícita é
\boxed{\,y(t)=\ln\!\bigl(1+(e^{y_0}-1)e^{-t}\bigr)\,}.

Passo 7

Analisar a solução explícita e o comportamento temporal (didático, passo a passo).
  1. Domínio temporal para frente (t crescente):
  • Para qualquer y_0\in\mathbb{R}, a quantidade 1+(e^{y_0}-1)e^{-t} é positiva para todo t\ge 0. Logo a solução está bem definida para todo t\ge0.
  • Se e^{y_0}-1>0 (isto é, y_0>0), então A>0 e para t\to+\infty tem e^{-t}\to0 e y(t)\to\ln(1)=0 vindo de cima.
  • Se e^{y_0}-1<0 (isto é, y_0<0), então A\in(-1,0). Ainda assim, para t\to+\infty, A e^{-t}\to0 e y(t)\to0 vindo de baixo.
  • Para y_0=0 tem A=0 e y(t)\equiv0.
Portanto para todo y_0\in\mathbb{R} a solução tende para y=0 quando t\to+\infty. Isso mostra que y=0 é globalmente atrativo no sentido do tempo futuro (atrai todas as soluções futuras).
  1. Comportamento para t\to-\infty (só para completar a imagem):
  • Se A>0 ( y_0>0), então quando t\to-\infty tem e^{-t}\to+\infty e y(t)\sim\ln(Ae^{-t})\to +\infty.
  • Se A<0 ( y_0<0), então existe um tempo finito t^* tal que 1+A e^{-t^*}=0; para t\le t^* a expressão dentro do log fica não positiva e a solução deixa de ser definida (singularidade em tempo finito para trás). Isso corresponde a trajetórias que vêm de -\infty em tempo finito no passado. (Mas isso não altera a estabilidade em frente no tempo.)
  1. Monotonicidade:
  • Como mostrado em passos anteriores, \dot y=f(y) é positiva para y<0 e negativa para y>0. Assim toda solução é monótona em tempo: se y_0>0 então y(t) é estritamente decrescente e converge para 0; se y_0<0 então y(t) é estritamente crescente e converge para 0.

Passo 8

Resumo intuitivo e interpretação física/geométrica (motivação para a prova).
  • Há apenas um ponto de equilíbrio, y=0.
  • A linearização mostra f'(0)=-1<0 ⇒ equilíbrio assintoticamente estável (sumidouro).
  • A reta de fase tem setas apontando para y=0 a partir de ambos os lados.
  • Soluções no plano t\!y são monotônicas e tendem exponencialmente para 0 quando t\to+\infty; elas se aproximam mais ou menos como uma taxa proporcional a e^{-t} porque a forma da solução explícita contém o fator e^{-t}.
Força — você pode usar essa mesma sequência de ideias na prova para equações do tipo \dot y=f(y): (i) achar equilíbrios resolvendo f(y)=0; (ii) olhar o sinal de f em cada intervalo para desenhar a reta de fase; (iii) usar f'(y^*) para classificar estabilidade rápida; (iv) quando possível separar e integrar para obter y(t) e confirmar o comportamento.

Resposta

Gráfico de f(y): função decrescente que cruza o eixo em y=0, com f(y)>0 para y<0 e f(y)<0 para y>0.
Ponto crítico: y=0.
Classificação: y=0 é assintoticamente estável (sumidouro), pois f'(0)=-1<0.
Reta de fase: setas apontando para y=0 a partir de ambos os lados (à esquerda → para cima; à direita → para baixo).
Soluções (forma explícita): y(t)=\ln\!\bigl(1+(e^{y_0}-1)e^{-t}\bigr), todas tendem para 0 quando t\to+\infty.

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