Envoutre a soma da serie \sum_{n=3}^{\infty} 4\left(\frac{2}{5}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
\sum_{n=3}^{\infty}4\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{n}.
Isso é uma série geométrica com termo geral a_{n}=4\,(2/5)^{n}. Para resolver vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Numa série geométrica infinita de razão r e primeiro termo a, a soma é convergente se \lvert r\rvert<1. Aqui temos
r = \frac{2}{5},
e o primeiro termo da soma (correspondente a n=3) é
a = a_{3} = 4\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{3}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert = 2/5 < 1, a soma existe e vale
S = \frac{a}{1 - r}.

Passo 4

Calculando a_{3} e substituindo em S:
a_{3} = 4 \times \frac{2^{3}}{5^{3}} = \frac{32}{125},
S = \frac{\tfrac{32}{125}}{1 - \tfrac{2}{5}} = \frac{\tfrac{32}{125}}{\tfrac{3}{5}} = \frac{32}{125} \times \frac{5}{3} = \frac{32}{75}.

Resposta

\frac{32}{75}

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