Estude a courergencia on divergencia das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\,.
Este é um caso típico de série de termos positivos, e vamos usar o Critério da Razão (ou de d’Alembert) para determinar sua convergência.

Passo 2

O Critério da Razão afirma que, para uma série \sum a_n com a_n>0, se
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe e L<1, então a série converge absolutamente (logo converge).

Passo 3

Aqui temos
a_n = \frac{1}{n!} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}.
Portanto
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0 < 1,
o que garante a convergência absoluta da série.

Passo 4

Como a série converge absolutamente, ela converge. Além disso, sabe-se que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = e
logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} = e - 1,
mas para o estudo de convergência basta o resultado do Critério da Razão.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} converge (absolutamente).

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