Escreva os cinco primeiros termos e ene seguida teste a convergencia das sénies:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede os cinco primeiros termos e depois o teste de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!}.
O conteúdo necessário é cálculo de termos gerais de uma sequência (produto de inteiros ímpares) e aplicação do teste da razão para séries infinita.

Passo 2

Denotando
a_n = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!},
vamos listar a_1,a_2,a_3,a_4,a_5:
Para n=1: o produto no numerador é apenas 1, e 1!=1, logo
a_1 = \frac{1}{1} = 1.
Para n=2: o numerador é 1\cdot3=3 e 2!=2, então
a_2 = \frac{3}{2} = 1,\!5.
Para n=3: o numerador é 1\cdot3\cdot5=15 e 3!=6, portanto
a_3 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,\!5.
Para n=4: o numerador é 1\cdot3\cdot5\cdot7=105 e 4!=24, daí
a_4 = \frac{105}{24} = \frac{35}{8} = 4,\!375.
Para n=5: o numerador é 1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9=945 e 5!=120, resulta
a_5 = \frac{945}{120} = \frac{63}{8} = 7,\!875.
Assim, os cinco primeiros termos são
1,\quad \tfrac{3}{2},\quad \tfrac{5}{2},\quad \tfrac{35}{8},\quad \tfrac{63}{8}.

Passo 3

Para testar a convergência, aplicamos o teste da razão. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1\cdot3\cdot\cdots(2n-1)\,(2n+1)}{(n+1)!}}{\frac{1\cdot3\cdot\cdots(2n-1)}{n!}} = \frac{2n+1}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+1} = 2.
Como L=2>1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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