Enzo acertou na mega sena da virada. 10,7 milhões de reais. Porém ao retirar o prêmio the foi oferecido um prêmio alternativo. Receber 1 centavo e esse um centavo iria dobrar a cada dia por 30 dias. Qual das duas escolhas deixou Enzo mais rico? Justifique sua resposta com cálculos.

Passo 1

O enunciado diz que Enzo pode escolher entre receber imediatamente R\$\,10\,700\,000 ou receber um centavo R\$\,0{,}01 que dobra de valor a cada dia durante 30 dias. O conteúdo é progressão geométrica, pois a cada dia o valor é multiplicado por 2.

Passo 2

Modelamos o prêmio alternativo como uma progressão geométrica cujos termos diários são
a_1 = 0{,}01\quad\text{e}\quad q = 2.
No dia n, o valor recebido é
a_n = a_1 \,q^{\,n-1} = 0{,}01\cdot 2^{\,n-1}.

Passo 3

Como Enzo recebe em cada um dos 30 dias o valor a_n, o total acumulado ao fim de 30 dias é a soma dos 30 termos da progressão geométrica:
S_{30} \;=\; a_1\,\frac{q^{30}-1}{q-1} \;=\;0{,}01\;\frac{2^{30}-1}{2-1} \;=\;0{,}01\,(2^{30}-1).

Passo 4

Calculando numericamente:
2^{30} = 1\,073\,741\,824 \quad\Longrightarrow\quad 2^{30}-1 = 1\,073\,741\,823
S_{30} = 0{,}01 \times 1\,073\,741\,823 = 10\,737\,418{,}23 \quad\text{reais.}

Passo 5

Comparando as duas escolhas:
10\,737\,418{,}23 > 10\,700\,000.
Logo, ao optar pela recompensa que dobra por 30 dias, Enzo acaba com cerca de R\$\,10\,737\,418{,}23, ficando R\$\,37\,418{,}23 a mais do que R\$\,10\,700\,000.

Resposta

Enzo fica mais rico escolhendo o centavo que dobra a cada dia por 30 dias.

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