Quantos meses são necessário para uma depreciação de 1 \% a.m., reduzir o valor do produto pela metade considerando juros compostos?

Passo 1

O enunciado pede quantos meses serão necessários para que, com uma depreciação composta de 1\% ao mês, o valor de um produto caia pela metade. O conteúdo aqui é depreciação em regime de juros compostos (ou seja, decaimento exponencial).

Passo 2

Em depreciação composta, se o valor inicial é V_0 e a taxa mensal é i=1\%=0,01, então após n meses o valor é
V_n = V_0\,(1 - i)^n = V_0\,(0,99)^n.
Queremos que V_n seja metade de V_0, ou seja,
0,99^n = \frac{V_n}{V_0} = \frac12.

Passo 3

Para resolver 0,99^n = \tfrac12, tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\bigl(0,99^n\bigr) = \ln\!\Bigl(\frac12\Bigr).
Usando \ln(a^n)=n\ln(a), obtemos
n\,\ln(0,99) = \ln\!\Bigl(\tfrac12\Bigr).
Isolando n, fica
n = \frac{\ln\!\bigl(\tfrac12\bigr)}{\ln(0,99)}.
Numericamente, \ln(\tfrac12)\approx -0,693147 e \ln(0,99)\approx -0,0100503, logo
n \approx \frac{-0,693147}{-0,0100503} \approx 68,97.

Passo 4

Como não podemos ter fração de mês em aplicação prática, arredondamos para cima, obtendo aproximadamente 69 meses.

Resposta

São necessários cerca de 69 meses para o valor do produto ser reduzido à metade.

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