Queremos estimar o intervalo de confiança ao nível de significância de \alpha=0,05 para a altura média \mu dos indivíduos de uma cidade. A princípio, só sabemos que a distribuição das alturas é uma variável aleatória X com distribuição normal. Para tanto, selecionamos uma amostra de \mathbf{n}=25 pessoas e obtemos \bar{x}=170 \mathrm{~cm} e \mathrm{s}=10 \mathrm{~cm}. R. \mathbf{e}=\mathbf{4 , 1 2 8}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança para a média \mu de uma população normal, sem saber o desvio-padrão real \sigma. Temos uma amostra de tamanho n=25, com \bar{x}=170 cm e s=10 cm, e nível de significância \alpha=0,05. Como \sigma é desconhecido, usaremos a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

O erro amostral e (meia-largura do intervalo) é dado por
e = t_{n-1,\;1-\frac{\alpha}{2}}\;\frac{s}{\sqrt{n}}
onde t_{24,\,0,975} é o quantil de 97,5% da t com 24 graus de liberdade.

Passo 3

Buscando na tabela de t obtermos
t_{24,\,0,975}\approx2,0639.
Calculamos
\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2,
portanto
e = 2,0639 \times 2 = 4,1278\approx4,128.

Passo 4

O intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\%=95\% para \mu fica
\bigl[\bar{x}-e,\;\bar{x}+e\bigr] = [170 - 4,128,\;170 + 4,128] = [165,872,\;174,128].

Resposta

e = 4,128 cm, logo o intervalo é
[165,872,\;174,128]\text{ cm.}

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