Numa epidemia de gripe, o número de pessoas num bairro que pegaram gripe após t dias é dado por L(t)=900001+1990 e^-0.5 t. Em quantos dias 50000 pessoas ficaram com gripe?

Passo 1

O enunciado dá a função logística L(t)=900001+1990e^-0.5t que indica o número de pessoas gripadas após t dias, e pede o tempo t tal que L(t)=50000. Vamos usar álgebra e logaritmo natural para isolar t.

Passo 2

Começamos igualando L(t) a 50000 e isolando o denominador:
50000=900001+1990e^-0.5t
Multiplicando ambos os lados por (1+1990e^-0.5t) e dividindo por 50000:
1+1990e^-0.5t=9000050000=1,8
Subtraindo 1 e isolando o exponencial:
1990e^-0.5t=1,8-1=0,8
e^-0.5t=0,81990

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural para eliminar o exponencial. Usamos ln(e^x)=x e propriedades de logaritmo:
-0,5t=lnl(0,8r)-lnl(1990r)
Logo,
t=ln(1990)-ln(0,8)0,5=2l(ln(1990)-ln(0,8)r)

Passo 4

Calculando numericamente: ln(1990)approx7,5959 e ln(0,8)approx-0,2231, então
tapprox2l(7,5959-(-0,2231)r)=2(7,8190)=15,638

Resposta

Aproximadamente 15,6 dias.

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