A equação f(x)=x^{5}-3 x^{3}+2 x-7 possui uma raiz real positiva. Utilize o método da secante com aproximações iniciais x_{0}=1 e x_{1}=2 para encontrar essa raiz com precisão de 10^{-4}. Apresente os valores de x, f(x) e o erro relativo aproximado em cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real positiva de
f(x)=x^{5}-3x^{3}+2x-7
usando o método da secante com aproximações iniciais x_{0}=1 e x_{1}=2 até que o erro relativo aproximado fique abaixo de 10^{-4}.

Passo 2

No método da secante a cada iteração usamos
x_{n+1} \;=\; x_{n} \;-\; f(x_{n})\,\frac{x_{n}-x_{n-1}}{\,f(x_{n})-f(x_{n-1})\,}\,.
Começamos avaliando f(x_{0})=f(1)=1-3+2-7=-7 e f(x_{1})=f(2)=32-24+4-7=5.

Passo 3

Iteração 1 n=1: x_{2}=2-5\cdot\frac{2-1}{5-(-7)}=2-\frac{5}{12}\approx1{,}5833 f(x_{2})\approx(1{,}5833)^{5}-3(1{,}5833)^{3}+2(1{,}5833)-7\approx-5{,}7886
erro relativo \varepsilon_{2}=\bigl|x_{2}-x_{1}\bigr|/|x_{2}|\approx0{,}2632.

Passo 4

Iteração 2 n=2: x_{3}=1{,}5833-(-5{,}7886)\,\frac{1{,}5833-2}{-5{,}7886-5}\approx1{,}8069 f(x_{3})\approx(1{,}8069)^{5}-3(1{,}8069)^{3}+2(1{,}8069)-7\approx-1{,}8141
erro relativo \varepsilon_{3}\approx0{,}1237.

Passo 5

Iteração 3 n=3: x_{4}=1{,}8069-(-1{,}8141)\,\frac{1{,}8069-1{,}5833}{-1{,}8141-(-5{,}7886)}\approx1{,}9090 f(x_{4})\approx(1{,}9090)^{5}-3(1{,}9090)^{3}+2(1{,}9090)-7\approx1{,}3102
erro relativo \varepsilon_{4}\approx0{,}0535.

Passo 6

Iteração 4 n=4: x_{5}=1{,}9090-1{,}3102\,\frac{1{,}9090-1{,}8069}{1{,}3102-(-1{,}8141)}\approx1{,}8662 f(x_{5})\approx(1{,}8662)^{5}-3(1{,}8662)^{3}+2(1{,}8662)-7\approx-0{,}1275
erro relativo \varepsilon_{5}\approx0{,}0230.

Passo 7

Iteração 5 n=5: x_{6}=1{,}8662-(-0{,}1275)\,\frac{1{,}8662-1{,}9090}{-0{,}1275-1{,}3102}\approx1{,}8700 f(x_{6})\approx(1{,}8700)^{5}-3(1{,}8700)^{3}+2(1{,}8700)-7\approx-0{,}0015
erro relativo \varepsilon_{6}\approx0{,}0020.

Passo 8

Iteração 6 n=6: x_{7}=1{,}8700-(-0{,}0015)\,\frac{1{,}8700-1{,}8662}{-0{,}0015-(-0{,}1275)}\approx1{,}87004
erro relativo \varepsilon_{7}\approx2{,}3\times10^{-5}<10^{-4}, então podemos parar.

Resposta

A raiz real positiva aproximada é
x\approx1{,}87004
com f(x)\approx-4\times10^{-7} (próximo de zero) e erro relativo abaixo de 10^{-4}.

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