A equação abaixo apresenta o modelo para o oscilador não-linear de Duffing
m ddotx+b0 dotx+k1 x^3-k0 x=F
Linearize o sistema em torno de um ponto de equilíbrio escolhido.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a famosa equação do oscilador de Duffing:
m ,ddot x + b0,dot x + k1,x^3 - k0,x = F
O conteúdo é “linearização de um sistema não-linear” em torno de um ponto de equilíbrio. Pra resolver a gente vai precisar:
1) Encontrar o ponto de equilíbrio (onde o sistema para: , ).
2) Fazer uma expansão de Taylor em perto desse ponto, pegando só termos lineares (derivada da parte não-linear).

Passo 2

Primeiro achar o equilíbrio k1,xe^3 - k0,xe = F, . Como em regime estacionário e , temos:

Esse é a raiz dessa equação (pode ser 1, 3 ou nenhuma real, dependendo dos parâmetros e de ).

Passo 3

Agora definimos um pequeno desvio em torno do equilíbrio:
u = x - xe,
Queremos a equação pra (que é “pequeno”), então substituímos na equação original.

Passo 4

A parte não-linear é f(xe+u)approx f(xe) + f'(xe),u,, . Vamos expandir em Taylor em torno de f'(x)=3,k1,x^2 - k0Longrightarrow f'(xe)=3,k1,xe^2 - k0, :

onde
Como em equilíbrio , ao substituir tudo na equação e cancelar com o termo constante, sobra só o linear em .

Resposta

A equação linearizada para o desvio m,ddot u + b0,dot u + l(3,k1,xe^2 - k0r),u = 0, fica:

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