Para a equação que representa o problema presa-predador - Equação de Lotka-Volterra:
& doty1=a y1-c y1 y2 & doty2=-b y2+d y1 y2
Encontre os pontos de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos ali revisar o que o exercício tá pedindo. A equação de Lotka–Volterra (presa–predador) é:
dot y1 = a,y1 ;-; c,y1,y2, dot y2 = -b,y2 ;+; d,y1,y2
Conteúdo: sistemas de EDOs (equações diferenciais ordinárias) e pontos de equilíbrio.
O que precisamos fazer: achar os valores de e que fazem e .

Passo 2

Pra encontrar o equilíbrio, a gente impõe
dot y1 = 0, dot y2 = 0
Escrevendo cada uma:
dot y1 = a,y1 - c,y1,y2 = y1,(a - c,y2) = 0,
dot y2 = -b,y2 + d,y1,y2 = y2,(-b + d,y1) = 0

Passo 3

Agora usa a propriedade do produto nulo: se , então ou .
Para a gente tem duas possibilidades:
  1. ,
  2. .
Para também duas:
  1. ,
  2. .

Passo 4

Vamos combinar as opções e ver quais dão solução de verdade:
  • Caso e .
    Verifica: sim, anula ambos e .
  • Caso e .
    (se ). Então não vale.
  • Caso e .
    . Também não vale.
  • Caso e .
    A gente já fatorou, dá zero em ambos direitinho.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são
(0,0) e l(tfracbd,,tfracacr)

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