Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de ODEs em variáveis de estado
e
e um sinal de entrada
:
O conteúdo aqui é “sistemas lineares de equações diferenciais” e a tarefa é provar, usando os princípios de aditividade e homogeneidade (superposição), se o sistema é linear ou não. Para isso, vamos lembrar a definição: um sistema é linear se o operador que gera o lado direito das equações satisfaz
- aditividade:
, - homogeneidade:
.
Passo 2
Definimos o operador
[
F\big(
,,u\big)
.
]
Vamos checar aditividade. Seja um par
com
e outro
. Então
[
y^a + y^b
\quad
u^a + u^b.
]
Calculemos
:
Passo 3
[
F\big(ya+yb,;ua+ub\big)
.
]
Agora separamos termos:
[
+
F(ya,ua) + F(yb,ub).
]
]
Isso mostra a aditividade.
Passo 4
Agora verifica homogeneidade: peguemos um escalar
e definamos
,
. Então
[
F(\alpha y,;\alpha u)
\alpha
\alpha,F(y,u).
]
]
Isso mostra a homogeneidade.
Resposta
O sistema satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, logo é linear.