Para as equações diferenciais abaixo, prove se são lineares ou não lineares usando os princípios da aditividade e homogeneidade.
ld y1(t)d t=y1(t)-2 y2(t)-u(t) d y2(t)d t=-y1(t)+2 y2(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de ODEs em variáveis de estado d y1d t = y1 - 2y2 - u(t), d y2d t = -y1 + 2y2 e e um sinal de entrada :
O conteúdo aqui é “sistemas lineares de equações diferenciais” e a tarefa é provar, usando os princípios de aditividade e homogeneidade (superposição), se o sistema é linear ou não. Para isso, vamos lembrar a definição: um sistema é linear se o operador que gera o lado direito das equações satisfaz
  1. aditividade: ,
  2. homogeneidade: .

Passo 2

Definimos o operador
[
F\big( F(y1y2,,u) = y1-2y2-u -,y1+2y2 ,,u\big)

y^a + y^b = y^a1+y^b1y^a2+y^b2, u^a + u^b .
]
Vamos checar aditividade. Seja um par com e outro . Então
[
y^a + y^b

,
\quad
u^a + u^b.
]
Calculemos :

Passo 3

[
F\big(ya+yb,;ua+ub\big)

F(y^a+y^b,;u^a+u^b) = (y^a1+y^b1) - 2(y^a2+y^b2) - (u^a+u^b)[6pt] -, (y^a1+y^b1) + 2(y^a2+y^b2) .
]
Agora separamos termos:
[

= y^a1-2y^a2-u^a -,y^a1+2y^a2 + y^b1-2y^b2-u^b -,y^b1+2y^b2 = F(y^a,u^a) + F(y^b,u^b)
+

F(ya,ua) + F(yb,ub).
]
Isso mostra a aditividade.

Passo 4

Agora verifica homogeneidade: peguemos um escalar F(alpha y,;alpha u) = alpha y1 - 2alpha y2 - alpha u -,alpha y1 + 2alpha y2 = alpha y1-2y2-u -,y1+2y2 = alpha,F(y,u) e definamos , . Então
[
F(\alpha y,;\alpha u)

\alpha

\alpha,F(y,u).
]
Isso mostra a homogeneidade.

Resposta

O sistema satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, logo é linear.

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