A equação diferencial abaixo é conhecida como oscilador de Van Der Pol com amortecimento não-linear:
Encontre o ponto de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem a equação do oscilador de Van der Pol com amortecimento não-linear:
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias de 2º ordem e pontos de equilíbrio.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Transformar essa EDO de 2ª ordem num sistema de 1ª ordem.
- Saber que ponto de equilíbrio é onde todas as derivadas viram zero.
Passo 2
Primeiro, a técnica de sempre: definimos uma nova variável para reduzir a ordem.
Vamos chamar
Vamos chamar
Então a equação original vira o sistema
Só reafirma: a primeira linha diz que a taxa de variação de
é
, a segunda vem da equação original.
Passo 3
Agora, o ponto de equilíbrio é onde
y = 0,[4pt] mul(1 - x^2r),y ;-; x = 0 e
ao mesmo tempo.
Isso significa:
Isso significa:
Passo 4
Na primeira equação já vemos
mul(1 - x^2r),underbrace0y ;-; x = 0 Longrightarrow -x = 0 Longrightarrow x = 0 .
Substituindo na segunda:
Substituindo
Resposta
O único ponto de equilíbrio do oscilador de Van der Pol é
ou seja,
e
.