A equação diferencial abaixo é conhecida como oscilador de Van Der Pol com amortecimento não-linear:
d^2 xd t^2-mu(1-x^2) d xd t+x=0
Encontre o ponto de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a equação do oscilador de Van der Pol com amortecimento não-linear:
d^2xdt^2 ;-;mul(1 - x^2r),dxdt;+;x ;=;0
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias de 2º ordem e pontos de equilíbrio.
O que vamos precisar:
  1. Transformar essa EDO de 2ª ordem num sistema de 1ª ordem.
  2. Saber que ponto de equilíbrio é onde todas as derivadas viram zero.

Passo 2

Primeiro, a técnica de sempre: definimos uma nova variável para reduzir a ordem.
Vamos chamar
y = dxdt
Então a equação original vira o sistema
dxdt = y,[6pt] dydt = mul(1 - x^2r),y ;-; x
Só reafirma: a primeira linha diz que a taxa de variação de é , a segunda vem da equação original.

Passo 3

Agora, o ponto de equilíbrio é onde y = 0,[4pt] mul(1 - x^2r),y ;-; x = 0 e ao mesmo tempo.
Isso significa:

Passo 4

Na primeira equação já vemos mul(1 - x^2r),underbrace0y ;-; x = 0 Longrightarrow -x = 0 Longrightarrow x = 0 .
Substituindo na segunda:

Resposta

O único ponto de equilíbrio do oscilador de Van der Pol é
(x, y) = (0, 0),
ou seja, e .

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