A equação abaixo, expressa no sistema intentacional de unidades, representa uma onda que se propaga num meio.
Y=0.2 \sin (x-t)
Determine:
a) velocidade de propagação de onda
b)a velocidade de vibração das partículas do meio
c)a equação de uma onda que superposta a já existente resultaria em una onda de amplitude 0.1 m
d)A equação de uma onda que superposta a já existente resultaria em uma onda estacionária.

Passo 1

O enunciado dá a onda
Y=0{,}2\sin(x-t)
expressa no Sistema Internacional de Unidades. As perguntas são:
a) qual a velocidade de propagação da onda?
b) qual a velocidade de vibração das partículas do meio? (ou seja, expressão da velocidade instantânea das partículas e seu valor máximo)
c) dar a equação de uma onda que, ao se superpor à já existente, resulte numa onda de amplitude 0{,}1\\ \text{m}; (assuma que as duas ondas têm a mesma frequência e direção de propagação, salvo indicação em contrário)
d) dar a equação de uma onda que, ao se superpor à já existente, resulte numa onda estacionária.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Amplitude da onda dada: A=0{,}2\\ \text{m}.
  • Argumento da função seno é x-t; portanto o termo espacial é kx com k=1 (unidade \text{rad}\,\text{m}^{-1}) e o termo temporal é \omega t com \omega=1 (unidade \text{rad}\,\text{s}^{-1}).
  • Estamos em SI: x em metros, t em segundos, Y em metros.

Passo 2

Determinar a velocidade de propagação: lição rápida sobre a forma padrão de uma onda progressiva.
  • Forma geral (onda harmónica que se propaga na direção positiva x) é
Y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (m),
  • k é o número de onda ( \text{rad}\,\text{m}^{-1}),
  • \omega é a pulsação ( \text{rad}\,\text{s}^{-1}),
  • \varphi é a fase inicial (rad).
  • A velocidade de fase (velocidade de propagação da crista) é dada por
v=\frac{\omega}{k}.
Agora apliquei isso ao caso dado: o argumento é x-t, ou seja kx-\omega t com k=1 e \omega=1. Portanto
v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{1}=1.
Unidades: como \omega tem unidade \text{rad}\,\text{s}^{-1} e k tem \text{rad}\,\text{m}^{-1}, o quociente dá \text{m}\,\text{s}^{-1}. Logo a velocidade de propagação é 1\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.

Passo 3

Velocidade de vibração das partículas do meio: definição e cálculo passo a passo.
  • Interpretacão: as partículas do meio oscilam verticalmente com deslocamento Y(x,t). A velocidade instantânea de uma partícula localizada em x é a derivada temporal parcial de Y:
v_{\text{part}}(x,t)=\frac{\partial Y}{\partial t}.
  • Calculemos a derivada para Y=0{,}2\sin(x-t). Usando a regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\sin(x-t)=\cos(x-t)\cdot\dfrac{d}{dt}(x-t)=\cos(x-t)\cdot(-1), pois x é constante quando derivamos em relação a t. Assim
v_{\text{part}}(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(0{,}2\sin(x-t)\bigr)=0{,}2\cos(x-t)\cdot(-1)=-0{,}2\cos(x-t).
  • Unidade: metros por segundo ( \text{m}\,\text{s}^{-1}). Esta é a velocidade instantânea — depende de x e t.
  • Velocidade máxima (valor absoluto máximo da velocidade das partículas): para uma função -0{,}2\cos(\cdots) o módulo máximo é 0{,}2. Outra maneira de ver é que a velocidade máxima é A\omega. Aqui A=0{,}2 e \omega=1, logo A\omega=0{,}2\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
Resumo didático: a partícula em x oscila com velocidade instantânea -0{,}2\cos(x-t) e a maior velocidade atingida por qualquer partícula é 0{,}2\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.

Passo 4

Parte (c): como obter por superposição uma onda resultante de amplitude 0{,}1\\ \text{m}. Estratégia e identidade trigonométrica útil.
  • Regra de superposição: se tivermos duas ondas da mesma frequência e mesmo k e \omega,
Y_1=A_1\sin(kx-\omega t+\phi_1),\qquad Y_2=A_2\sin(kx-\omega t+\phi_2),
então a soma é outra senoide da mesma frequência cuja amplitude resultante R satisfaz (forma geral via soma de senos)
R=\sqrt{A_1^{2}+A_2^{2}+2A_1A_2\cos(\Delta\varphi)},
onde \Delta\varphi=\phi_2-\phi_1 é a diferença de fase. Uma identidade prática para sinais com mesma k e \omega é
\sin a+\sin b=2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right),
que pode ser usada para encontrar a amplitude resultante.
  • No nosso caso Y_1=0{,}2\sin(x-t) (ou seja A_1=0{,}2, \phi_1=0). Queremos R=0{,}1. Há várias escolhas possíveis para A_2 e \phi_2. A solução mais simples e direta para a prova é escolher uma onda que tenha a forma de reduzir a amplitude por subtração direta: tomar Y_2=-0{,}1\sin(x-t). Isso corresponde a uma onda com amplitude 0{,}1 e defasagem \pi (porque -\sin(\theta)=\sin(\theta+\pi)). Então escolhemos
Y_2=-0{,}1\sin(x-t)\quad\text{(equivalente a }\;0{,}1\sin(x-t+\pi)\text{)}.
  • Verificação: somando
Y_{\text{res}}=0{,}2\sin(x-t)+\bigl(-0{,}1\sin(x-t)\bigr)=0{,}1\sin(x-t),
ou seja, amplitude 0{,}1, conforme pedido.
  • Observação: há infinitas outras respostas possíveis (por exemplo escolher A_2=0{,}2 com uma fase apropriada \phi_2 tal que o resultado tenha R=0{,}1; nesse caso resolveria \;0{,}4\bigl|\cos(\tfrac{\phi_2}{2})\bigr|=0{,}1, etc.). Na prova, a escolha de uma onda com amplitude 0{,}1 e defasagem \pi é a mais simples e perfeitamente válida.

Passo 5

Parte (d): produzir uma onda estacionária por superposição. Conceito e construção:
  • Conceito: uma onda estacionária é obtida ao somar duas ondas de mesma amplitude e frequência que se propagam em sentidos opostos (mesmo k e \omega, sinais opostos no termo temporal), por exemplo A\sin(kx-\omega t) e A\sin(kx+\omega t). Usando a identidade de soma,
\sin(kx-\omega t)+\sin(kx+\omega t)=2\sin(kx)\cos(\omega t),
que é um produto de uma função espacial e uma função temporal — característica da onda estacionária (nós e ventres fixos no espaço).
  • Aplicando ao caso dado: Y_1=0{,}2\sin(x-t). Para obter uma estacionária simples escolha Y_2=0{,}2\sin(x+t) (mesma amplitude, sentido oposto). Soma:
Y_{\text{est}}=0{,}2\sin(x-t)+0{,}2\sin(x+t)=0{,}4\sin(x)\cos(t).
  • Interpretação: esta é uma onda estacionária com amplitude espacial 0{,}4\sin(x) e oscilação temporal \cos(t). Os nós ocorrem onde \sin(x)=0, isto é em x=n\pi ( n inteiro), e os ventres em x=\tfrac{\pi}{2}+n\pi.

Resposta

a) v=1\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
b) v_{\text{part}}(x,t)=-0{,}2\cos(x-t)\\ \text{m}\,\text{s}^{-1} (velocidade instantânea); velocidade máxima =0{,}2\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
c) Uma escolha simples é Y_2=-0{,}1\sin(x-t) (equivalente a Y_2=0{,}1\sin(x-t+\pi)), pois então Y_{\text{res}}=0{,}1\sin(x-t)
d) Uma escolha que gera uma onda estacionária é Y_2=0{,}2\sin(x+t); a soma é Y_{\text{est}}=0{,}4\sin(x)\cos(t)

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