Uma onda propaga-se no meio de acordo com a função y=0.4 \cos (4 / 5 \pi t-\pi / 2 x) no SI.
Calcule:
a) frequiência da onda
b) o comprimento da onda
c) a velocidade da onda

Passo 1

O enunciado dá a função de uma onda no SI:
y = 0,4\cos\!\left(\frac{4}{5}\pi\,t - \frac{\pi}{2}\,x\right).
O que pede:
(a) a frequência da onda;
(b) o comprimento de onda;
(c) a velocidade de propagação da onda.
Informações relevantes fornecidas:
  • Amplitude: A=0,4 (metros).
  • O argumento do cosseno tem a forma \dfrac{4}{5}\pi\,t - \dfrac{\pi}{2}\,x (peguei esses coeficientes diretamente da função dada).
  • Está no Sistema Internacional (unidades padrão: segundos, metros, hertz etc.).

Passo 2

Vamos recordar a forma padrão de uma onda harmônica unidimensional que viaja na direção positiva de x:
y(x,t)=A\cos\!\left(\omega t - kx + \varphi\right).
Explicando as quantidades:
  • \omega é a frequência angular, medida em \mathrm{rad/s}. Ela diz quantos radians o argumento \omega t “gira” por segundo.
  • k é o número de onda (wave number), medido em \mathrm{rad/m}. Ele diz quantos radians por metro a fase varia com x.
    Relações importantes que usamos (e que você deve decorar):
f=\frac{\omega}{2\pi}\quad\text{(frequência em Hz)},ê
T=\frac{1}{f}\quad\text{(período em s)},í
\lambda=\frac{2\pi}{k}\quad\text{(comprimento de onda em m)},
v=\frac{\omega}{k}=f\lambda\quad\text{(velocidade de propagação em m/s)}.çã
Vou aplicar essas fórmulas ao que está na função dada.

Passo 3

Identificar \omega e k comparando os coeficientes do argumento da função com \omega t - kx:
Da expressão \dfrac{4}{5}\pi\,t - \dfrac{\pi}{2}\,x segue que
\omega = \frac{4}{5}\pi\quad(\mathrm{rad/s}), \qquad k = \frac{\pi}{2}\quad(\mathrm{rad/m}).

Passo 4

Calcular a frequência f usando f=\dfrac{\omega}{2\pi}. Substituindo \omega:
f=\frac{\dfrac{4}{5}\pi}{2\pi}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0,4\\ \mathrm{Hz}.
Também opcionalmente o período é
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{0,4}=2,5\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \lambda=\dfrac{2\pi}{k}. Substituindo k:
\lambda=\frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{2}}=2\pi\cdot\frac{2}{\pi}=4\\ \mathrm{m}.
Aqui o \pi cancela, sobrando 2\cdot 2=4.

Passo 6

Calcular a velocidade v. Usando v=\dfrac{\omega}{k}:
v=\frac{\dfrac{4}{5}\pi}{\tfrac{\pi}{2}}=\frac{4}{5}\cdot 2=\frac{8}{5}=1,6\\ \mathrm{m/s}.
Verificação rápida com v=f\lambda:
v=f\lambda=0,4\cdot 4=1,6\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado — ótimo sinal de consistência.

Passo 7

Resumo e checagem de unidades: \omega em \mathrm{rad/s} e k em \mathrm{rad/m} dão f em \mathrm{Hz}, \lambda em \mathrm{m} e v em \mathrm{m/s}. Tudo coerente. Você pode repetir esse procedimento com qualquer função do tipo A\cos(\omega t - kx + \varphi): identificar \omega e k, depois usar as fórmulas acima.

Resposta

(a) f=0,4\\ \mathrm{Hz}
(b) \lambda=4\\ \mathrm{m}
(c) v=1,6\\ \mathrm{m/s}

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