A equação apresentada a seguir é usada para calcular a queda de pressão ( De ) ao longo do comprimento de um tubo (L), devido ao escoamento através do tubo. Determine se a equação apresenta consistência dimensional:
De
em que v é a velocidade média do fluido escoando através do tubo, D é o diâmetro do tubo e f é um coeficiente adimensional chamado fator de fricção, que é uma função do número de Reynolds.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe pede para verificar se a equação que calcula a queda de pressão ( De) ao longo de um tubo é dimensionalmente consistente. Isso significa que as unidades de medida em ambos os lados da equação devem ser iguais. Para resolver isso, vamos precisar entender as dimensões de cada variável na equação:
De
Aqui:
  • v é a velocidade média do fluido,
  • L é o comprimento do tubo,
  • D é o diâmetro do tubo,
  • f é o fator de fricção (adimensional).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das dimensões básicas de cada quantidade física envolvida:
  • Pressão ( De): A pressão é força por unidade de área. Suas dimensões são:
    [De
    onde:
    • M é massa,
    • L é comprimento,
    • T é tempo.
  • Velocidade ( v): É a distância percorrida por unidade de tempo. Suas dimensões são:
    [v] = LT
  • Comprimento ( L) e Diâmetro ( D): Ambas têm dimensão de comprimento:
    [L] = [D] = L
  • Fator de fricção ( f): É um número adimensional, ou seja, não possui dimensão:
    [f] = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar as dimensões de cada lado da equação.
Lado Esquerdo (Δp):
[De
Lado Direito:
[12 v^2(LD) f] = [v^2] cdot [LD] cdot [f]
Vamos calcular cada parte:
  1. v^2:
    [v^2] = [LT]^2 = L^2T^2
  2. LD:
    [LD] = LL = 1
  3. f:
    [f] = 1
Multiplicando tudo:
[v^2] cdot [LD] cdot [f] = L^2T^2 cdot 1 cdot 1 = L^2T^2

Passo 4

Agora, comparamos as dimensões dos dois lados da equação:
  • Lado Esquerdo: ML cdot T^2
  • Lado Direito: L^2T^2
Claramente, as dimensões não são iguais. No lado esquerdo, temos uma dependência de massa ( M), enquanto no lado direito não há. Além disso, as potências de L são diferentes ( L^-1 vs. L^2).

Resposta

Não, a equação apresentada não é dimensionalmente consistente.

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