A massa específica de certo líquido é dada por uma equação da seguinte forma?
rho=(A+B cdot T) cdot e^C P
em que rho é a massa específica (g / cm^3), T a temperatura ( ^circ C) e P a pressão ( atm ). Para essa equação ser dimensionalmente consistente, quais são as unidades de A, B e C?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação que relaciona a massa específica de um líquido com a temperatura e a pressão. O conteúdo que vamos usar aqui é Análise Dimensional, que ajuda a verificar se uma equação faz sentido em termos de unidades. Precisamos descobrir quais são as unidades de A, B e C para que a equação seja dimensionalmente consistente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
rho = (A + B cdot T) cdot e^C cdot P
Onde:
  • rho é a massa específica em g/cm^3
  • T é a temperatura em ^circC
  • P é a pressão em atm
Para a equação ser dimensionalmente consistente, as unidades de ambos os lados da igualdade devem ser as mesmas. Ou seja, a unidade de rho deve ser igual à unidade do lado direito da equação.

Passo 3

Vamos analisar o lado direito da equação: (A + B cdot T) cdot e^C cdot P
Primeiro, note que o termo dentro dos parênteses, A + B cdot T, deve ter a mesma unidade, já que estamos somando duas grandezas. Isso significa que:
[A] = [B] cdot [T]
Onde [A] é a unidade de A e [B] é a unidade de B.
Além disso, o expoente na função exponencial, C cdot P, deve ser adimensional, ou seja, sem unidade. Portanto:
[C] cdot [P] = 1
Agora, vamos detalhar cada parte.

Passo 4

Primeiro, vamos determinar a unidade de A.
Sabemos que:
[A] = [rho] = g/cm^3
Agora, para o termo B cdot T:
Como A e B cdot T têm a mesma unidade,
[B] cdot [T] = g/cm^3
Sabendo que T está em ^circC, que é uma unidade de temperatura, a unidade de B deve ser:
[B] = g/cm^3^circC ou g/cm^3/^circC
Agora, para o expoente C cdot P ser adimensional:
[C] cdot [P] = 1 Rightarrow [C] = 1[P]
Dado que P está em atm, temos:
[C] = 1atm ou atm^-1

Passo 5

Resumindo as unidades:
  • A tem unidade de g/cm^3
  • B tem unidade de g/cm^3/^circC
  • C tem unidade de atm^-1

Resposta

As unidades são:
  • A está em g/cm^3
  • B está em g/cm^3/^circC
  • C está em atm^-1

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