(1,0) A equação para o aumento da corrente em um circuito RL pode ser escrita como:
I(t)=\frac{\epsilon}{R}\left(1-e^{-R t / L}\right)
onde \varepsilon é a tensâo \mathrm{em} \mathrm{V}, R é a resistência \mathrm{em} \Omega e L é a indutäncia em H. A partir da equnçāo do aumento da corrente, obtenha uma expressīo para a força eletromotriz autoinduzida no indutor \varepsilon_{L}. Indique também o valor de \varepsilon_{L} para os casos extremos t=0 e t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado trata de um circuito RL em que a corrente cresce segundo
I(t)=\frac{\varepsilon}{R}\Bigl(1-e^{-Rt/L}\Bigr),
e pede a força eletromotriz autoinduzida no indutor, isto é, \varepsilon_{L}, além de seus valores em t=0 e t\to\infty. Para isso, vamos usar a relação fundamental da autoindução
\varepsilon_{L}=-L\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de I(t):
\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} =\frac{\varepsilon}{R}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(1-e^{-Rt/L}\bigr) =\frac{\varepsilon}{R}\,\Bigl(0 -\bigl(-\tfrac{R}{L}\bigr)e^{-Rt/L}\Bigr) =\frac{\varepsilon}{L}\,e^{-Rt/L}.
Logo, pela definição de autoindução,
\varepsilon_{L} =-L\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} =-L\cdot\frac{\varepsilon}{L}\,e^{-Rt/L} =-\varepsilon\,e^{-Rt/L}.

Passo 3

Agora avaliamos \varepsilon_{L} nos instantes extremos:
— Para t=0:
\varepsilon_{L}(0) =-\varepsilon\,e^{-R\cdot0/L} =-\varepsilon\,e^{0} =-\varepsilon.
— Para t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}\varepsilon_{L}(t) =-\varepsilon\,\lim_{t\to\infty}e^{-Rt/L} =-\varepsilon\cdot0 =0.

Resposta

\varepsilon_{L}(t)=-\varepsilon\,e^{-Rt/L},
com \varepsilon_{L}(0)=-\varepsilon e \displaystyle\lim_{t\to\infty}\varepsilon_{L}(t)=0.

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