(Equação de Bernoulli) A equação
y^prime+p(x) y=q(x) y^n
onde p(x) e q(x) são funções contínuas em algum intervalo I da reta e n in Re, é conhecida como a equação de
Bernoulli. Se n neq 0 e n neq 1 a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável z=y^1-n. Demostre isto, e resolva as equações:
a) y(6 x^2 y^2-x+1)+2 x y^prime=0
b) y^prime=y+e^-3 x y^4
c) 2 x^3 y^prime=y(y^2+3 x^2)
d) x^3 y^prime=2 y(raiz[3]y+3 x^2)

Passo 1

Vamos estudar primeiro o tipo de equação que aparece no enunciado e o que a gente vai usar para resolver tudo isso. O problema fala da equação de Bernoulli de primeira ordem,
que é da forma
y' + p(x),y = q(x),y^n
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas e n é um número real diferente de 0 e 1. Essas equações não são lineares originalmente, mas a mágica é a mudança de variável
z = y^1-n
Usando essa transformação, conseguimos reduzir a Bernoulli a uma equação linear em z. É essa receita que vamos aplicar nas quatro equações dadas.

Passo 2

Agora a gente mostra por que a substituição z=y^1-n deixa a equação de Bernoulli linear. Começamos de
y' + p(x)y = q(x)y^n,
e definimos z=y^1-n. Derivando:
z' = (1-n)y^-ny'
Se multiplicarmos a equação original por (1-n)y^-n, obtemos
(1-n)y^-ny' + (1-n)p(x)y^1-n = (1-n)q(x)y^n-n
Ou seja,
z' + (1-n)p(x),z = (1-n)q(x),
que é uma equação linear em z.

Passo 3

Vamos resolver a letra (a):
Equação: y(6x^2y^2 - x + 1) + 2x y' = 0.
  1. Reescrevendo em forma de Bernoulli:
y' - l(tfrac12 - tfrac12xr)y = -3x,y^3
Aqui n=3, p(x)=-(tfrac12-tfrac12x), q(x)=-3x.
  1. Fazemos z=y^1-3=y^-2. A equação em z fica
z' + l(1 - tfrac1xr)z = 6x
  1. Fator integrante: mu(x)=e^integral(1-1/x)dx=e^x/x. Integrando,
ddxl(tfrace^xxzr)=6xe^xx=6e^x
tfrace^xxz =6e^x + C Longrightarrow z=6x + Cx e^-x
  1. Voltando para y:
1y^2=6x + Cx e^-x Longrightarrow y=pm1raizxl(6 + Ce^-xr)

Passo 4

Agora a letra (b):
Equação: y' = y + e^-3xy^4.
  1. Colocando em Bernoulli:
y' - y = e^-3xy^4
Então n=4, p(x)=-1, q(x)=e^-3x.
  1. Troca z=y^1-4=y^-3. A equação em z
z' + 3z = -3e^-3x
  1. Fator integrante: mu=e^3x. Integramos
ddx(e^3xz) = -3,
e^3xz = -3x + C Longrightarrow z = e^-3x(-3x + C)
  1. Então
y^-3=e^-3x(C-3x) Longrightarrow y^3=e^3xC-3x Longrightarrow y=e^x(C-3x)^1/3

Passo 5

Agora a letra ©:
Equação: 2x^3y' = y(y^2+3x^2).
  1. Escrevendo como Bernoulli:
y' - 32xy = 12x^-3y^3
Aqui n=3, p(x)=-3/(2x), q(x)=tfrac12x^-3.
  1. Colocamos z=y^-2. A equação vira
z' + 3xz = -x^-3
  1. Fator integrante: mu=x^3. Integrando:
ddx(x^3z) = -1 Longrightarrow x^3z = -x + C Longrightarrow z = -x^-2 + Cx^-3
  1. Voltando:
1y^2=x^-3(C - x) Longrightarrow y^2=x^3C-x Longrightarrow y=pmx^3/2raizC-x

Passo 6

Finalmente a letra (d):
Equação: x^3y' = 2yl(raiz[3]y + 3x^2r).
  1. Expandindo:
y' - 6xy = 2x^-3y^4/3
Então n=4/3, p(x)=-6/x, q(x)=2x^-3.
  1. Fazemos z=y^1-4/3=y^-1/3. A equação em z é
z' + 2xz = -tfrac23x^-3
  1. Fator integrante: mu=x^2. Integrando:
ddx(x^2z) = -tfrac23x^-1 Longrightarrow x^2z = -tfrac23ln|x| + C Longrightarrow z = -tfrac23x^-2ln|x| + Cx^-2
  1. Voltando para y:
y^-1/3 = x^-2l(C - tfrac23ln|x|r) Longrightarrow y = x^6l(C - tfrac23ln|x|r)^3

Resposta

a) y=pmdfrac1raizxl(6 + Ce^-xr)
b) y=dfrace^x(C-3x)^1/3
c) y=pmdfracx^3/2raizC-x
d) y=dfracx^6l(C - tfrac23ln|x|r)^3

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