(Equação de Bernoulli) A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta e
, é conhecida como a equação de
Bernoulli. Se
e
a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável
. Demostre isto, e resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
Bernoulli. Se
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos estudar primeiro o tipo de equação que aparece no enunciado e o que a gente vai usar para resolver tudo isso. O problema fala da equação de Bernoulli de primeira ordem,
que é da forma
que é da forma
onde
e
são funções conhecidas e
é um número real diferente de 0 e 1. Essas equações não são lineares originalmente, mas a mágica é a mudança de variável
Usando essa transformação, conseguimos reduzir a Bernoulli a uma equação linear em
. É essa receita que vamos aplicar nas quatro equações dadas.
Passo 2
Agora a gente mostra por que a substituição
deixa a equação de Bernoulli linear. Começamos de
e definimos
. Derivando:
Se multiplicarmos a equação original por
, obtemos
Ou seja,
que é uma equação linear em
.
Passo 3
Vamos resolver a letra (a):
Equação:
.
- Reescrevendo em forma de Bernoulli:
Aqui
,
,
.
- Fazemos
. A equação em fica
- Fator integrante:
. Integrando,
- Voltando para
:
Passo 4
Agora a letra (b):
Equação:
.
- Colocando em Bernoulli:
Então
,
,
.
- Troca
. A equação em dá
- Fator integrante:
. Integramos
- Então
Passo 5
Agora a letra ©:
Equação:
.
- Escrevendo como Bernoulli:
Aqui
,
,
.
- Colocamos
. A equação vira
- Fator integrante:
. Integrando:
- Voltando:
Passo 6
Finalmente a letra (d):
Equação:
.
- Expandindo:
Então
,
,
.
- Fazemos
. A equação em é
- Fator integrante:
. Integrando:
- Voltando para
:
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)