1. (Equação de Bernoulli) Um fluido escoa horizontalmente entre dois pontos de uma tubulação. No ponto A, a área é 20 \mathrm{~cm}^{2} e a pressão é 1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. No ponto B, a área é 5 \mathrm{~cm}^{2} e a pressão é 1.0 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. Calcule a velocidade do fluido nos pontos A e B , supondo densidade constante \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado diz que um fluido incompressível ( \rho=1000,kg/ m^{3}) escoa horizontalmente entre dois pontos A e B de um tubo. No ponto A temos área maior e pressão maior; no ponto B área menor e pressão menor. Precisamos usar a equação de continuidade e a equação de Bernoulli (sem termo de altura, pois o escoamento é horizontal) para encontrar as velocidades v_A e v_B.

Passo 2

Converter as áreas de c m^{2} para m^{2}:
A_A = 20\;\mathrm{cm}^2 = 20\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2 = 2,0\times10^{-3}\;\mathrm{m}^2,
A_B = 5\;\mathrm{cm}^2 = 5\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2 = 5,0\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2.

Passo 3

Equação de continuidade para escoamento incompressível:
A_A\,v_A = A_B\,v_B \quad\Longrightarrow\quad v_B = \frac{A_A}{A_B}\,v_A = 4\,v_A.

Passo 4

Equação de Bernoulli (sem variação de altura):
p_A + \frac12\,\rho\,v_A^2 \;=\; p_B + \frac12\,\rho\,v_B^2.
Substituindo v_B=4v_A e isolando a diferença de pressões,
p_A - p_B = \frac12\,\rho\bigl((4v_A)^2 - v_A^2\bigr) = \frac12\,\rho\,(16v_A^2 - v_A^2) = \frac{15}{2}\,\rho\,v_A^2.

Passo 5

Despejando v_A^2:
v_A^2 = \frac{2\,(p_A - p_B)}{15\,\rho}.

Passo 6

Substituindo p_A = 1,5\times10^5,Pa, p_B = 1,0\times10^5,Pa e \rho = 1000,kg/ m^{3}:
p_A - p_B = (1,5 - 1,0)\times10^5 = 0,5\times10^5\;\mathrm{Pa},
v_A = \sqrt{\frac{2\cdot(0,5\times10^5)}{15\cdot10^3}} \approx 2,58\;\mathrm{m/s}.

Passo 7

Usando v_B = 4\,v_A:
v_B \approx 4 \times 2,58 = 10,33\;\mathrm{m/s}.

Resposta

v_A \approx 2,58\;\mathrm{m/s} v_B \approx 10,33\;\mathrm{m/s}

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