Considere um cabo coaxial de raio interno a, raio externo b, comprimento \ell e com uma corrente i. Admitindo o campo magnético como sendo nulo no interior do condutor interno de raio a,
(a) encontre a expressão para a indutância por unidade do comprimento e escreva a expressão para a energia magnética armazenada no sistema;
(b) Mostre que esta a mesma expressão para energia magnética armazenada no sistema pode ser obtida partindo da definição de densidade de energia magnética.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial de raio interno a, raio externo b, comprimento \ell e corrente i. Admitimos que o campo magnético é nulo para r<a e também para r>b. O conteúdo que vamos usar inclui a Lei de Ampère para achar \mathbf{B}(r) entre a e b, a definição de indutância \displaystyle L'=\frac{\Phi}{i} por unidade de comprimento e a energia magnética W=\tfrac12Li^2. Depois, em (b), vamos usar a densidade de energia magnética u=\tfrac{B^2}{2\mu_0} para chegar à mesma W.

Passo 2

Aplicando a Lei de Ampère num circuito circular de raio r com a<r<b, temos
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} \;=\; B(r)\,(2\pi r)\;=\;\mu_0\,i
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B(r) \;=\;\frac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}\quad(a<r<b).

Passo 3

Para obter a indutância por unidade de comprimento L', calculamos o fluxo magnético ligado a um “loop” de comprimento \ell:
\Phi \;=\;\int_{a}^{b} B(r)\,\ell\,dr \;=\;\ell\int_{a}^{b}\frac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}\,dr \;=\;\frac{\mu_0\,i\,\ell}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).
Como L'=\Phi/i, segue
L' \;=\;\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).

Passo 4

A indutância total é L=L'\,\ell e a energia magnética armazenada é
W \;=\;\tfrac12\,L\,i^2 \;=\;\tfrac12\!\Bigl(\frac{\mu_0\,\ell}{2\pi}\ln\!\tfrac{b}{a}\Bigr)i^2 \;=\;\frac{\mu_0\,\ell}{4\pi}\,i^2\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr).

Passo 5

Agora usamos a densidade de energia
u(r)\;=\;\frac{B^2}{2\mu_0} \;=\;\frac{1}{2\mu_0}\Bigl(\frac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}\Bigr)^{2} \;=\;\frac{\mu_0\,i^2}{8\pi^2\,r^2}.
Integrando no volume do casqueto entre a e b:
W \;=\;\int_{V}u\,dV \;=\;\int_{a}^{b}\frac{\mu_0\,i^2}{8\pi^2\,r^2}\,(2\pi\,r\,\ell)\,dr \;=\;\frac{\mu_0\,i^2\,\ell}{4\pi}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r} \;=\;\frac{\mu_0\,\ell}{4\pi}i^2\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr),
que coincide exatamente com o resultado do Passo 4.

Resposta

L'=\displaystyle\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) W=\displaystyle\frac{\mu_0\,\ell}{4\pi}\,i^2\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)

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