A Equação Característica: Substitua a solução proposta na equação matricial. Simplifique a expressão para eliminar a dependência do tempo e chegar a uma equação puramente algébrica.

Passo 1

O enunciado pede que eu tome uma solução proposta para uma equação matricial dependente do tempo, substitua essa solução na equação diferencial matricial e simplifique até obter uma equação puramente algébrica (sem dependência em t). As informações que vamos usar são:
  • A equação matricial dada é \dot{x}(t)=A\,x(t), onde A é uma matriz quadrada (de ordem n) e x(t) é um vetor coluna que depende do tempo t.
  • A solução proposta que devemos substituir é x(t)=v\,e^{\lambda t}, onde v é um vetor constante (independente de t) e \lambda é um escalar (possivelmente complexo).
  • O objetivo final é eliminar a dependência em t e obter uma condição algébrica que relaciona A, \lambda e v.

Passo 2

Vamos calcular a derivada temporal da solução proposta. A solução é x(t)=v\,e^{\lambda t}. Como v é constante em t, a derivada é dada pela regra do produto (aqui trivial, porque só o exponencial depende de t):
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\big(v\,e^{\lambda t}\big)=v\,\frac{d}{dt}\big(e^{\lambda t}\big)=v\,\lambda e^{\lambda t}.
Para ficar no formato vetorial/matricial, podemos reescrever como
\dot{x}(t)=\lambda\,v\,e^{\lambda t}.

Passo 3

Agora escrevemos a equação diferencial original e substituímos a expressão de \dot{x}(t) e de x(t). A equação é
\dot{x}(t)=A\,x(t).
Substituindo \dot{x}(t)=\lambda v e^{\lambda t} e x(t)=v e^{\lambda t}, obtemos
\lambda\,v\,e^{\lambda t}=A\big(v\,e^{\lambda t}\big).

Passo 4

Usamos a linearidade da multiplicação matricial para fatorar e^{\lambda t} no lado direito:
\lambda\,v\,e^{\lambda t}=A v\,e^{\lambda t}.
Como e^{\lambda t} é um escalar (mesmo que complexo) podemos colocá-lo em evidência:
\lambda\,v\,e^{\lambda t} - Av\,e^{\lambda t}=0.

Passo 5

Fatorando e^{\lambda t} do membro esquerdo:
\big(\lambda v - A v\big) e^{\lambda t}=0.
Podemos reorganizar os termos dentro do parêntese como uma multiplicação por uma matriz:
\big(\lambda I - A\big)v\,e^{\lambda t}=0,
onde I é a matriz identidade de ordem n.

Passo 6

Observação importante para remover a dependência em t: a função exponencial e^{\lambda t} nunca é zero para nenhum t (para qualquer \lambda\in\mathbb{C} e t\in\mathbb{R}). Portanto podemos dividir ambos os lados por e^{\lambda t} sem perigo, obtendo uma equação que não depende de t:
\big(\lambda I - A\big)v=0.
Essa é uma equação algébrica (homogênea) envolvendo a matriz \lambda I - A e o vetor constante v.

Passo 7

A equação \big(\lambda I - A\big)v=0 é um sistema linear homogêneo para o vetor v. Para que exista uma solução não-trivial (ou seja, v\neq 0) — caso contrário a solução x(t)=0 seria trivial e pouco interessante — é necessário e suficiente que a matriz \lambda I - A seja singular (não inversível).
A condição de singularidade de uma matriz quadrada é expressa pela sua determinante igual a zero. Portanto a condição algébrica que liga \lambda e A é
\det\big(\lambda I - A\big)=0.

Passo 8

Costuma-se reescrever a expressão acima mudando o sinal (é equivalente e às vezes mais comum escrever \det(A - \lambda I)=0). Ambas representam o mesmo polinômio característico em \lambda. Para deixar explícito que isso gera um polinômio de grau n em \lambda, podemos escrever:
p(\lambda)=\det\big(A - \lambda I\big)=0.
As raízes desse polinômio p(\lambda) são os valores de \lambda que admitem vetores v\neq 0 satisfazendo (A-\lambda I)v=0.

Passo 9

Exemplo rápido (para fixar): se A é 2\times 2,
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
A-\lambda I=\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\[4pt] c & d-\lambda\end{pmatrix}
e
\det\big(A-\lambda I\big)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-bc).
Igualando a zero obtemos o polinômio característico de grau 2 cujo zero(s) são os possíveis \lambda.]

Resposta

\det\big(A - \lambda I\big)=0

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