A Equação Característica: Substitua a solução proposta na equação matricial. Simplifique a expressão para eliminar a dependência do tempo e chegar a uma equação puramente algébrica.
Passo 1
O enunciado pede que eu tome uma solução proposta para uma equação matricial dependente do tempo, substitua essa solução na equação diferencial matricial e simplifique até obter uma equação puramente algébrica (sem dependência em
). As informações que vamos usar são:
- A equação matricial dada é
, onde é uma matriz quadrada (de ordem ) e é um vetor coluna que depende do tempo . - A solução proposta que devemos substituir é
, onde é um vetor constante (independente de ) e é um escalar (possivelmente complexo). - O objetivo final é eliminar a dependência em
e obter uma condição algébrica que relaciona , e .
Passo 2
Vamos calcular a derivada temporal da solução proposta. A solução é
. Como
é constante em
, a derivada é dada pela regra do produto (aqui trivial, porque só o exponencial depende de
):
Para ficar no formato vetorial/matricial, podemos reescrever como
Passo 3
Agora escrevemos a equação diferencial original e substituímos a expressão de
e de
. A equação é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Usamos a linearidade da multiplicação matricial para fatorar
no lado direito:
Como
é um escalar (mesmo que complexo) podemos colocá-lo em evidência:
Passo 5
Fatorando
do membro esquerdo:
Podemos reorganizar os termos dentro do parêntese como uma multiplicação por uma matriz:
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 6
Observação importante para remover a dependência em
: a função exponencial
nunca é zero para nenhum
(para qualquer
e
). Portanto podemos dividir ambos os lados por
sem perigo, obtendo uma equação que não depende de
:
Essa é uma equação algébrica (homogênea) envolvendo a matriz
e o vetor constante
.
Passo 7
A equação
é um sistema linear homogêneo para o vetor
. Para que exista uma solução não-trivial (ou seja,
) — caso contrário a solução
seria trivial e pouco interessante — é necessário e suficiente que a matriz
seja singular (não inversível).
A condição de singularidade de uma matriz quadrada é expressa pela sua determinante igual a zero. Portanto a condição algébrica que liga
e
é
Passo 8
Costuma-se reescrever a expressão acima mudando o sinal (é equivalente e às vezes mais comum escrever
). Ambas representam o mesmo polinômio característico em
. Para deixar explícito que isso gera um polinômio de grau
em
, podemos escrever:
As raízes desse polinômio
são os valores de
que admitem vetores
satisfazendo
.
Passo 9
Exemplo rápido (para fixar): se
é
,
então
e
Igualando a zero obtemos o polinômio característico de grau
cujo zero(s) são os possíveis
.]