Considere duas massas (m) e três molas (k) presas a paredes. Nossa missão é descrever matematicamente este sistema.
As Equações Acopladas: Aplique a 2^{\mathrm{a}} Lei de Newton a cada massa individualmente para derivar o sistema de duas equações diferenciais acopladas.

Passo 1

O que o problema pede: derivar as equações diferenciais acopladas que descrevem o movimento de duas massas e três molas fixas às paredes.
Informações dadas (e pressupostos explícitos):
  • Há duas massas idênticas, cada uma com massa \,m\,.
  • Há três molas idênticas, cada uma com constante elástica \,k\,, dispostas entre as paredes e as massas (configuração: parede — mola — massa 1 — mola — massa 2 — mola — parede).
  • As molas obedecem à lei de Hooke (força elástica proporcional à deformação).
  • Não há amortecimento, forças externas nem gravidade atuando na direção do movimento (movimento unidimensional horizontal).
  • Devemos aplicar a segunda lei de Newton a cada massa para obter duas equações diferenciais acopladas em \,x_1(t)\, e \,x_2(t)\,, os deslocamentos das massas a partir das posições de equilíbrio.
Variáveis que vamos usar (já definidas aqui para evitar ambiguidade depois):
  • \,x_1(t)\,: deslocamento da massa à esquerda em relação à sua posição de equilíbrio; sinal positivo para a direita.
  • \,x_2(t)\,: deslocamento da massa à direita em relação à sua posição de equilíbrio; sinal positivo para a direita.

Passo 2

Escolha de convenção de sinais e ideia física: vou medir todos os deslocamentos a partir das posições de equilíbrio, e tomar positivo para a direita. Na posição de equilíbrio cada mola está sem deformação; se uma massa for deslocada, cada mola é esticada ou comprimida e exerce uma força restauradora proporcional à deformação, sempre apontando no sentido de levar de volta ao equilíbrio.
Explicação breve das leis que vamos usar (com linguagem simples):
  • Segunda lei de Newton: a força resultante sobre uma massa é igual à massa vezes sua aceleração. Em fórmulas,
\sum F = m \, \ddot{x},
onde \ddot{x} é a segunda derivada temporal de \,x(t)\,, ou seja, a aceleração.
  • Lei de Hooke (molas lineares): a força exercida por uma mola é proporcional à deformação e aponta no sentido de reduzir essa deformação. Em fórmula unidimensional,
F_{\text{mola}} = -k \,\Delta x,
onde \Delta x é a deformação (extensão positiva se esticada) e o sinal negativo indica que a força é restauradora.

Passo 3

Determinar as deformações de cada mola em termos de \,x_1\, e \,x_2\,, com explicação:
  • Mola esquerda (entre parede fixa e massa 1): se \,x_1>0\, essa mola é esticada em \,x_1. Logo a deformação é \,\Delta x_{\text{esq}} = x_1. A força dessa mola sobre a massa 1, segundo Hooke, é
F_{\text{esq sobre 1}} = -k\,x_1.
  • Mola direita (entre massa 2 e parede): análogo, deformação \,\Delta x_{\text{dir}} = x_2. A força dessa mola sobre a massa 2 é
F_{\text{dir sobre 2}} = -k\,x_2.
  • Mola do meio (entre massa 1 e massa 2): a deformação relativa desta mola é a diferença de posições das massas. Se \,x_2>x_1\, a mola está esticada em \,x_2-x_1. Em geral a deformação é
\Delta x_{\text{meio}} = x_2 - x_1.
Agora as forças que a mola do meio exerce em cada massa (lei de ação e reação):
  • Força da mola do meio sobre a massa 1: tende a puxá-la para a direita se a mola está esticada, então
F_{\text{meio sobre 1}} = +k\,(x_2 - x_1).
  • Força da mola do meio sobre a massa 2: é oposta à da massa 1 (terceira lei de Newton), portanto
F_{\text{meio sobre 2}} = -k\,(x_2 - x_1) = k\,(x_1 - x_2).

Passo 4

Escrever a soma das forças sobre a massa 1 e aplicar a segunda lei de Newton, passo a passo:
  • Forças que atuam na massa 1:
    1. Mola esquerda: F_{\text{esq sobre 1}} = -k\,x_1 (puxa para a esquerda quando x_1>0).
    2. Mola do meio: F_{\text{meio sobre 1}} = k\,(x_2 - x_1) (puxa para a direita se x_2>x_1).
  • Soma das forças sobre a massa 1:
\sum F_1 = -k\,x_1 + k\,(x_2 - x_1).
  • Simplificando a soma:
\sum F_1 = -k\,x_1 + k\,x_2 - k\,x_1 = -2k\,x_1 + k\,x_2.
  • Aplicando a segunda lei:
m\,\ddot{x}_1 = -2k\,x_1 + k\,x_2.
Expliquei cada termo: o termo -2k\,x_1 vem da contribuição simultânea da mola à esquerda e da componente que a mola do meio aplica contra o deslocamento de \,x_1, e o termo +k\,x_2 vem da tendência da mola do meio de puxar a massa 1 na direção da posição de \,x_2.

Passo 5

Escrever a soma das forças sobre a massa 2 e aplicar a segunda lei, passo a passo:
  • Forças que atuam na massa 2:
    1. Mola direita: F_{\text{dir sobre 2}} = -k\,x_2 (puxa para a esquerda quando x_2>0).
    2. Mola do meio: F_{\text{meio sobre 2}} = k\,(x_1 - x_2) (puxa para a esquerda se x_1<x_2).
  • Soma das forças sobre a massa 2:
\sum F_2 = -k\,x_2 + k\,(x_1 - x_2).
  • Simplificando:
\sum F_2 = -k\,x_2 + k\,x_1 - k\,x_2 = k\,x_1 - 2k\,x_2.
  • Aplicando a segunda lei:
m\,\ddot{x}_2 = k\,x_1 - 2k\,x_2.

Passo 6

Organização final e forma matricial (opcional mas útil para ver acoplamento):
  • As duas equações obtidas formam o sistema linear acoplado
m\,\ddot{x}_1 = -2k\,x_1 + k\,x_2,
m\,\ddot{x}_2 = k\,x_1 - 2k\,x_2.
  • Em forma matricial, escrevendo \mathbf{x}=(x_1,x_2)^\top,
m\,\ddot{\mathbf{x}} = -k \begin{pmatrix} 2 & -1\\[4pt] -1 & 2 \end{pmatrix} \mathbf{x}.
Isto mostra claramente que as equações são simétricas e acopladas pela mola do meio.]

Resposta

m\,\ddot{x}_1 = -2k\,x_1 + k\,x_2
m\,\ddot{x}_2 = k\,x_1 - 2k\,x_2

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