Considere duas massas
e três molas
presas a paredes. Nossa missão é descrever matematicamente este sistema.
As Equações Acopladas: Aplique a
Lei de Newton a cada massa individualmente para derivar o sistema de duas equações diferenciais acopladas.
As Equações Acopladas: Aplique a
Passo 1
O que o problema pede: derivar as equações diferenciais acopladas que descrevem o movimento de duas massas e três molas fixas às paredes.
Informações dadas (e pressupostos explícitos):
- Há duas massas idênticas, cada uma com massa
. - Há três molas idênticas, cada uma com constante elástica
, dispostas entre as paredes e as massas (configuração: parede — mola — massa 1 — mola — massa 2 — mola — parede). - As molas obedecem à lei de Hooke (força elástica proporcional à deformação).
- Não há amortecimento, forças externas nem gravidade atuando na direção do movimento (movimento unidimensional horizontal).
- Devemos aplicar a segunda lei de Newton a cada massa para obter duas equações diferenciais acopladas em
e , os deslocamentos das massas a partir das posições de equilíbrio.
Variáveis que vamos usar (já definidas aqui para evitar ambiguidade depois):
-
: deslocamento da massa à esquerda em relação à sua posição de equilíbrio; sinal positivo para a direita. -
: deslocamento da massa à direita em relação à sua posição de equilíbrio; sinal positivo para a direita.
Passo 2
Escolha de convenção de sinais e ideia física: vou medir todos os deslocamentos a partir das posições de equilíbrio, e tomar positivo para a direita. Na posição de equilíbrio cada mola está sem deformação; se uma massa for deslocada, cada mola é esticada ou comprimida e exerce uma força restauradora proporcional à deformação, sempre apontando no sentido de levar de volta ao equilíbrio.
Explicação breve das leis que vamos usar (com linguagem simples):
- Segunda lei de Newton: a força resultante sobre uma massa é igual à massa vezes sua aceleração. Em fórmulas,
onde
é a segunda derivada temporal de
, ou seja, a aceleração.
- Lei de Hooke (molas lineares): a força exercida por uma mola é proporcional à deformação e aponta no sentido de reduzir essa deformação. Em fórmula unidimensional,
onde
é a deformação (extensão positiva se esticada) e o sinal negativo indica que a força é restauradora.
Passo 3
Determinar as deformações de cada mola em termos de
e
, com explicação:
- Mola esquerda (entre parede fixa e massa 1): se
essa mola é esticada em . Logo a deformação é . A força dessa mola sobre a massa 1, segundo Hooke, é
- Mola direita (entre massa 2 e parede): análogo, deformação
. A força dessa mola sobre a massa 2 é
- Mola do meio (entre massa 1 e massa 2): a deformação relativa desta mola é a diferença de posições das massas. Se
a mola está esticada em . Em geral a deformação é
Agora as forças que a mola do meio exerce em cada massa (lei de ação e reação):
- Força da mola do meio sobre a massa 1: tende a puxá-la para a direita se a mola está esticada, então
- Força da mola do meio sobre a massa 2: é oposta à da massa 1 (terceira lei de Newton), portanto
Passo 4
Escrever a soma das forças sobre a massa 1 e aplicar a segunda lei de Newton, passo a passo:
- Forças que atuam na massa 1:
- Mola esquerda:
(puxa para a esquerda quando ). - Mola do meio:
(puxa para a direita se ).
- Mola esquerda:
- Soma das forças sobre a massa 1:
- Simplificando a soma:
- Aplicando a segunda lei:
Expliquei cada termo: o termo
vem da contribuição simultânea da mola à esquerda e da componente que a mola do meio aplica contra o deslocamento de
, e o termo
vem da tendência da mola do meio de puxar a massa 1 na direção da posição de
.
Passo 5
Escrever a soma das forças sobre a massa 2 e aplicar a segunda lei, passo a passo:
- Forças que atuam na massa 2:
- Mola direita:
(puxa para a esquerda quando ). - Mola do meio:
(puxa para a esquerda se ).
- Mola direita:
- Soma das forças sobre a massa 2:
- Simplificando:
- Aplicando a segunda lei:
Passo 6
Organização final e forma matricial (opcional mas útil para ver acoplamento):
- As duas equações obtidas formam o sistema linear acoplado
- Em forma matricial, escrevendo
,
Isto mostra claramente que as equações são simétricas e acopladas pela mola do meio.]