Considere duas massas (m) e três molas (k) presas a paredes. Nossa missão é descrever matematicamente este sistema.
A Notação Vetorial: Defina o vetor de estado \vec{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)^{T}. Reescreva o sistema de equações na forma de uma única e elegante equação matricial: \mathbf{M} \ddot{\vec{x}}=-\mathbf{K} \vec{x}. Identifique as matrizes de Massa (M) e Rigidez (K).

Passo 1

O enunciado pede para modelar matematicamente um sistema com duas massas idênticas e três molas idênticas presas a paredes e reescrever as equações de movimento na forma matricial
\mathbf{M}\,\ddot{\vec{x}} = -\mathbf{K}\,\vec{x}.
Informações dadas e o que devemos devolver:
  • Duas massas iguais: m (uma para cada massa).
  • Três molas iguais: k (uma à esquerda da massa 1, uma entre as massas, e uma à direita da massa 2).
  • Vetor de deslocamentos \vec{x} = \left(x_{1},x_{2}\right)^{T}, onde x_{1} é o deslocamento da massa à esquerda em relação à posição de equilíbrio e x_{2} é o deslocamento da massa à direita em relação à posição de equilíbrio.
  • Objetivo: obter as equações escalares de movimento e, a partir delas, identificar explicitamente as matrizes \mathbf{M} e \mathbf{K} que aparecem na forma matricial acima.

Passo 2

Escolhendo convenção de sinais e aplicando a segunda lei de Newton:
  • Convenção: deslocamentos positivos para a direita. Forças restauradoras das molas são proporcionais à deformação e apontam para reduzir o deslocamento (Lei de Hooke linear).
  • Lei de Newton (em uma dimensão): para cada massa, a soma das forças F que atuam sobre ela é igual a m vezes a aceleração:
F_{\text{total}} = m\,\ddot{x}.
Aqui \ddot{x} é a derivada segunda de x em relação ao tempo, ou seja, aceleração. Vou aplicar isso a cada massa, listando as forças que atuam.

Passo 3

Forças sobre a massa 1 (massa da esquerda):
  • Força da mola esquerda (presa à parede): se a massa 1 está em x_{1}, a mola esquerda é alongada em x_{1} (assumindo repouso em x=0), logo a força dessa mola sobre a massa 1 é
F_{\text{esq}} = -k\,x_{1}.
O sinal negativo indica que a força puxa a massa de volta para zero.
  • Força da mola do meio (entre as massas): a deformação relativa é x_{1}-x_{2} (se x_{1}>x_{2} a mola está esticada puxando a massa 1 para a direita? cuidado com sinais). A força sobre a massa 1 devido à mola do meio é
F_{\text{meio sobre 1}} = -k\,(x_{1}-x_{2}) = k\,(x_{2}-x_{1}).
Somando as forças sobre a massa 1 e aplicando Newton:
m\,\ddot{x}_{1} = F_{\text{esq}} + F_{\text{meio sobre 1}} = -k\,x_{1} - k\,(x_{1}-x_{2}).
Simplificando:
m\,\ddot{x}_{1} = -2k\,x_{1} + k\,x_{2}.

Passo 4

Forças sobre a massa 2 (massa da direita):
  • Força da mola direita (presa à parede): se a massa 2 está em x_{2}, a mola direita exerce
F_{\text{dir}} = -k\,x_{2}.
  • Força da mola do meio (sobre a massa 2): agora a deformação relativa é a mesma x_{2}-x_{1} para efeito no outro corpo, e a força sobre a massa 2 é
F_{\text{meio sobre 2}} = -k\,(x_{2}-x_{1}) = k\,(x_{1}-x_{2}).
Somando e aplicando Newton:
m\,\ddot{x}_{2} = F_{\text{meio sobre 2}} + F_{\text{dir}} = -k\,x_{2} - k\,(x_{2}-x_{1}),
que simplifica para
m\,\ddot{x}_{2} = k\,x_{1} - 2k\,x_{2}.

Passo 5

Escrever o sistema obtido em forma matricial. As duas equações escalare s são
m\,\ddot{x}_{1} = -2k\,x_{1} + k\,x_{2},
m\,\ddot{x}_{2} = \;\;k\,x_{1} -2k\,x_{2}.
Colocando em forma vetorial, com \vec{x}=\left(x_{1},x_{2}\right)^{T} e \ddot{\vec{x}}=\left(\ddot{x}_{1},\ddot{x}_{2}\right)^{T}, temos
m \begin{pmatrix}\ddot{x}_{1}\\[4pt]\ddot{x}_{2}\end{pmatrix} = - k \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}.
Logo a forma pedida \mathbf{M}\,\ddot{\vec{x}} = -\mathbf{K}\,\vec{x} aparece com:
\mathbf{M} = m\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{K} = k\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação e checagens rápidas (úteis na prova):
  • \mathbf{M} é a matriz de massa: diagonal porque não há acoplamento cinético entre coordenadas (cada massa tem sua própria inércia m).
  • \mathbf{K} é a matriz de rigidez (estiffness): simétrica e positiva definida (para k>0), com entradas na diagonal \,2k porque cada massa sente duas molas apoiando-a (exceto que uma é a parede e a outra é a mola do meio) e entradas fora da diagonal -k porque a mola do meio acopla os dois graus de liberdade com sinal oposto.
  • Multiplicando \mathbf{K}\vec{x} você recupera os termos restauradores de cada equação escalar que obtivemos.

Resposta

\mathbf{M} = m\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
\mathbf{K} = k\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}]

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