Considere duas massas
e três molas
presas a paredes. Nossa missão é descrever matematicamente este sistema.
A Notação Vetorial: Defina o vetor de estado
. Reescreva o sistema de equações na forma de uma única e elegante equação matricial:
. Identifique as matrizes de Massa (M) e Rigidez (K).
A Notação Vetorial: Defina o vetor de estado
Passo 1
O enunciado pede para modelar matematicamente um sistema com duas massas idênticas e três molas idênticas presas a paredes e reescrever as equações de movimento na forma matricial
Informações dadas e o que devemos devolver:
- Duas massas iguais:
(uma para cada massa). - Três molas iguais:
(uma à esquerda da massa 1, uma entre as massas, e uma à direita da massa 2). - Vetor de deslocamentos
, onde é o deslocamento da massa à esquerda em relação à posição de equilíbrio e é o deslocamento da massa à direita em relação à posição de equilíbrio. - Objetivo: obter as equações escalares de movimento e, a partir delas, identificar explicitamente as matrizes
e que aparecem na forma matricial acima.
Passo 2
Escolhendo convenção de sinais e aplicando a segunda lei de Newton:
- Convenção: deslocamentos positivos para a direita. Forças restauradoras das molas são proporcionais à deformação e apontam para reduzir o deslocamento (Lei de Hooke linear).
- Lei de Newton (em uma dimensão): para cada massa, a soma das forças
que atuam sobre ela é igual a vezes a aceleração:
Aqui
é a derivada segunda de
em relação ao tempo, ou seja, aceleração. Vou aplicar isso a cada massa, listando as forças que atuam.
Passo 3
Forças sobre a massa 1 (massa da esquerda):
- Força da mola esquerda (presa à parede): se a massa 1 está em
, a mola esquerda é alongada em (assumindo repouso em ), logo a força dessa mola sobre a massa 1 é
O sinal negativo indica que a força puxa a massa de volta para zero.
- Força da mola do meio (entre as massas): a deformação relativa é
(se a mola está esticada puxando a massa 1 para a direita? cuidado com sinais). A força sobre a massa 1 devido à mola do meio é
Somando as forças sobre a massa 1 e aplicando Newton:
Simplificando:
Passo 4
Forças sobre a massa 2 (massa da direita):
- Força da mola direita (presa à parede): se a massa 2 está em
, a mola direita exerce
- Força da mola do meio (sobre a massa 2): agora a deformação relativa é a mesma
para efeito no outro corpo, e a força sobre a massa 2 é
Somando e aplicando Newton:
que simplifica para
Passo 5
Escrever o sistema obtido em forma matricial. As duas equações escalare s são
Colocando em forma vetorial, com
e
, temos
Logo a forma pedida
aparece com:
Passo 6
Interpretação e checagens rápidas (úteis na prova):
-
é a matriz de massa: diagonal porque não há acoplamento cinético entre coordenadas (cada massa tem sua própria inércia ). -
é a matriz de rigidez (estiffness): simétrica e positiva definida (para ), com entradas na diagonal porque cada massa sente duas molas apoiando-a (exceto que uma é a parede e a outra é a mola do meio) e entradas fora da diagonal porque a mola do meio acopla os dois graus de liberdade com sinal oposto. - Multiplicando
você recupera os termos restauradores de cada equação escalar que obtivemos.